11. Függvények vizsgálata elemi úton és a differenciálszámítás felhasználásával
2006/02/18 11:05
6857 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A 2006. májusi/júniusi emelt szintű szóbeli érettségi egyik vizsgatételvázlatát adjuk közre. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a tételvázlat a szerző elképzeléseit tükrözi, semmiképpen nem tekinthető "hivatalos"-nak.

Függvény vizsgálatának szempontjai

Értékkészlet
f(x) függvény értékkészlete a helyettesítési értékeinek halmaza.
Monotonitás
Egy f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában szigorúan monoton növekedő, ha az intervallum bármely x1 < x2 értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll f(x1) < f(x2).
Egy f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában monoton növekedő, ha az intervallum bármely x1 < x2 értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll f(x1) ≤ f(x2).
Egy f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában szigorúan monoton csökkenő, ha az intervallum bármely x1 < x2 értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll f(x1) > f(x2).
Egy f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában monoton csökkenő, ha az intervallum bármely x1 < x2 értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll f(x1) ≥ f(x2).
Zérushely
Valamely f függvény zérushelyének nevezzük az értelmezési tartományának mindazon értékeit, amelyeknél f(x)=0.
Szélsőérték:
Az f függvénynek minimuma van a változó x1 értékénél, ha a függvény ott felvett f(x1) értékénél sehol sem vesz fel kisebb értéket.
Az f függvénynek maximuma van a változó x2 értékénél, ha a függvény ott felvett f(x2) értékénél sehol sem vesz fel nagyobb értéket.
Az f függvénynek helyi minimuma van a változó a értékénél, ha létezik az a-nak egy olyan környezete (azaz létezik olyan nyitott intervallum, amely tartalmazza a-t), hogy a környezet azon elemire, amelyek a függvény értelmezési tartományába beleesnek, az x=a-nál felvett f(a) függvényértéknél kisebb értéket nem vesz fel.
Az f függvénynek helyi maximuma van a változó b értékénél, ha létezik az b-nek egy olyan környezete (azaz létezik olyan nyitott intervallum, amely tartalmazza b-t), hogy a környezet azon elemire, amelyek a függvény értelmezési tartományába beleesnek, az x=b-nál felvett f(b) függvényértéknél nagyobb értéket nem vesz fel.• Korlátosság
Egy f függvény felülről korlátos, ha létezik olyan K szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére f(x) ≤ K. Az ilyen számot a függvény felső korlátjának nevezzük.
Egy f függvény alulról korlátos, ha létezik olyan k szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére f(x) ≥ k. Az ilyen számot a függvény alsó korlátjának nevezzük.
Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha alulról is, és felülről is korlátos, vagyis ha létezik olyan K szám, hogy│f(x)│ ≤ K.
Konvexség, konkávság
Egy f függvény az [a; b] intervallumban (alulról) konvex, ha ott értelmezve van, és az intervallumon minden a < x1 < x2 < b pontpárra a függvény grafikonja az (x1; f(x1)) és az (x2; f(x2)) pontokat összekötő szakasz alatt halad.
Egy f függvény az [a; b] intervallumban (alulról) konkáv, ha ott értelmezve van, és az intervallumon minden a < x1 < x2 < b pontpárra a függvény grafikonja az (x1; f(x1)) és az (x2; f(x2)) pontokat összekötő szakasz felett halad.
Paritás
Egy f függvény párosnak nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén -x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x)=f(x). Páros függvény grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre.
Egy f függvény páratlannak nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén -x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x)=-f(x). Páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra.
Periodikusság
Egy f függvényt periodikusnak nevezünk, ha létezik olyan p>0 konstans, ha x eleme az értelmezési tartománynak, akkor x+p és x-p is eleme az értelmezési tartománynak, és fennáll, hogy f(x+p)=f(x-p)=f(x). Ha létezik az ilyen számok között legkisebb, akkor ezt a függvény periódusának nevezzük.

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények:

• Elsőfokú függvény
• Másodfokú függvény
• Abszolútértékes kifejezést tartalmazó függvény
• Hatványfüggvény
• Gyökfüggvény
• Elsőfokú törtfüggvény
• Exponenciális függvény
• Logaritmusfüggvény
• Trigonometrikus függvények

Függvénytranszformációk:

Függvénytranszformációkkal egy-egy függvénytípus valamely függvényéből a hozzárendelési szabály bizonyos megváltoztatásával újabb függvényeket állíthatunk elő.

Függvényvizsgálat

• Az elemi függvények tulajdonságait felhasználva elemi úton vizsgálhatók azok a függvények, amelyek valamely alapfüggvény transzformációjaként előállíthatók. (Példával alátámasztandó)

• Differenciálszámítás segítségével vizsgálható függvénytulajdonságok:

Monotonitás
Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon differenciálható, és ezen az intervallumon a deriváltfüggvénye pozitív (negatív), akkor (a; b)-n f(x) szigorúan monoton növekvő (csökkenő).

Konvexség, konkávság
Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon kétszer differenciálható, és f(x) második deriváltfüggvénye ezen az intervallumon pozitív (negatív), akkor a f(x) (a; b)-n konvex (konkáv).

Szélsőérték
Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon differenciálható, és az intervallum egy x0 pontjában szélsőértéke van, akkor igaz, hogy (Ez a feltétel, szükséges, de nem elégséges.)

Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon differenciálható és az intervallum egy x0 pontjában 0 a deriváltja, és ebben a pontban a derivált előjelet vált, akkor x0 pontban a függvénynek helyi szélsőértéke van.

Tétel:
f(x)=xn ( n pozitív természetes szám) függvény minden valós x helyen deriválható, és A bizonyítást teljes indukcióval végezzük:
n=1 esetén igaz az állítás: x'=1
• Tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás, és mutassuk meg, hogy n+1-re is igaz. Az indukciós feltétel: Mivel xn+1=x ∙xn, használhatjuk a szorzat deriválására vonatkozó szabályt: n-ről n+1-re bizonyítottuk a formula helyességét, tehát minden pozitív természetes kitevőre is igaz. (Más eszközökkel valós kitevőre is belátható az összefüggés.)

Alkalmazás
• Szélsőértékfeladatok megoldása.
• Függvény menetének vizsgálata.
• Fizikában grafikonok vizsgálata

Feladatok:
1. Írjuk le a f(x)=3x-x3 függvény menetét, ha a valós számok halmazán van értelmezve!
2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényt! 3. Adjuk meg a következő függvény értékkészletét!

Konfár László

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek