11. Függvények vizsgálata elemi úton és a differenciálszámítás felhasználásával
2006/02/18 11:05
7059 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A 2006. májusi/júniusi emelt szintű szóbeli érettségi egyik vizsgatételvázlatát adjuk közre. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a tételvázlat a szerző elképzeléseit tükrözi, semmiképpen nem tekinthető "hivatalos"-nak.

Függvény vizsgálatának szempontjai

Értékkészlet
f(x) függvény értékkészlete a helyettesítési értékeinek halmaza.
Monotonitás
Egy f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában szigorúan monoton növekedő, ha az intervallum bármely x1 < x2 értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll f(x1) < f(x2).
Egy f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában monoton növekedő, ha az intervallum bármely x1 < x2 értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll f(x1) ≤ f(x2).
Egy f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában szigorúan monoton csökkenő, ha az intervallum bármely x1 < x2 értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll f(x1) > f(x2).
Egy f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában monoton csökkenő, ha az intervallum bármely x1 < x2 értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll f(x1) ≥ f(x2).
Zérushely
Valamely f függvény zérushelyének nevezzük az értelmezési tartományának mindazon értékeit, amelyeknél f(x)=0.
Szélsőérték:
Az f függvénynek minimuma van a változó x1 értékénél, ha a függvény ott felvett f(x1) értékénél sehol sem vesz fel kisebb értéket.
Az f függvénynek maximuma van a változó x2 értékénél, ha a függvény ott felvett f(x2) értékénél sehol sem vesz fel nagyobb értéket.
Az f függvénynek helyi minimuma van a változó a értékénél, ha létezik az a-nak egy olyan környezete (azaz létezik olyan nyitott intervallum, amely tartalmazza a-t), hogy a környezet azon elemire, amelyek a függvény értelmezési tartományába beleesnek, az x=a-nál felvett f(a) függvényértéknél kisebb értéket nem vesz fel.
Az f függvénynek helyi maximuma van a változó b értékénél, ha létezik az b-nek egy olyan környezete (azaz létezik olyan nyitott intervallum, amely tartalmazza b-t), hogy a környezet azon elemire, amelyek a függvény értelmezési tartományába beleesnek, az x=b-nál felvett f(b) függvényértéknél nagyobb értéket nem vesz fel.• Korlátosság
Egy f függvény felülről korlátos, ha létezik olyan K szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére f(x) ≤ K. Az ilyen számot a függvény felső korlátjának nevezzük.
Egy f függvény alulról korlátos, ha létezik olyan k szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére f(x) ≥ k. Az ilyen számot a függvény alsó korlátjának nevezzük.
Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha alulról is, és felülről is korlátos, vagyis ha létezik olyan K szám, hogy│f(x)│ ≤ K.
Konvexség, konkávság
Egy f függvény az [a; b] intervallumban (alulról) konvex, ha ott értelmezve van, és az intervallumon minden a < x1 < x2 < b pontpárra a függvény grafikonja az (x1; f(x1)) és az (x2; f(x2)) pontokat összekötő szakasz alatt halad.
Egy f függvény az [a; b] intervallumban (alulról) konkáv, ha ott értelmezve van, és az intervallumon minden a < x1 < x2 < b pontpárra a függvény grafikonja az (x1; f(x1)) és az (x2; f(x2)) pontokat összekötő szakasz felett halad.
Paritás
Egy f függvény párosnak nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén -x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x)=f(x). Páros függvény grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre.
Egy f függvény páratlannak nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén -x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x)=-f(x). Páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra.
Periodikusság
Egy f függvényt periodikusnak nevezünk, ha létezik olyan p>0 konstans, ha x eleme az értelmezési tartománynak, akkor x+p és x-p is eleme az értelmezési tartománynak, és fennáll, hogy f(x+p)=f(x-p)=f(x). Ha létezik az ilyen számok között legkisebb, akkor ezt a függvény periódusának nevezzük.

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények:

• Elsőfokú függvény
• Másodfokú függvény
• Abszolútértékes kifejezést tartalmazó függvény
• Hatványfüggvény
• Gyökfüggvény
• Elsőfokú törtfüggvény
• Exponenciális függvény
• Logaritmusfüggvény
• Trigonometrikus függvények

Függvénytranszformációk:

Függvénytranszformációkkal egy-egy függvénytípus valamely függvényéből a hozzárendelési szabály bizonyos megváltoztatásával újabb függvényeket állíthatunk elő.

Függvényvizsgálat

• Az elemi függvények tulajdonságait felhasználva elemi úton vizsgálhatók azok a függvények, amelyek valamely alapfüggvény transzformációjaként előállíthatók. (Példával alátámasztandó)

• Differenciálszámítás segítségével vizsgálható függvénytulajdonságok:

Monotonitás
Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon differenciálható, és ezen az intervallumon a deriváltfüggvénye pozitív (negatív), akkor (a; b)-n f(x) szigorúan monoton növekvő (csökkenő).

Konvexség, konkávság
Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon kétszer differenciálható, és f(x) második deriváltfüggvénye ezen az intervallumon pozitív (negatív), akkor a f(x) (a; b)-n konvex (konkáv).

Szélsőérték
Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon differenciálható, és az intervallum egy x0 pontjában szélsőértéke van, akkor igaz, hogy (Ez a feltétel, szükséges, de nem elégséges.)

Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon differenciálható és az intervallum egy x0 pontjában 0 a deriváltja, és ebben a pontban a derivált előjelet vált, akkor x0 pontban a függvénynek helyi szélsőértéke van.

Tétel:
f(x)=xn ( n pozitív természetes szám) függvény minden valós x helyen deriválható, és A bizonyítást teljes indukcióval végezzük:
n=1 esetén igaz az állítás: x'=1
• Tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás, és mutassuk meg, hogy n+1-re is igaz. Az indukciós feltétel: Mivel xn+1=x ∙xn, használhatjuk a szorzat deriválására vonatkozó szabályt: n-ről n+1-re bizonyítottuk a formula helyességét, tehát minden pozitív természetes kitevőre is igaz. (Más eszközökkel valós kitevőre is belátható az összefüggés.)

Alkalmazás
• Szélsőértékfeladatok megoldása.
• Függvény menetének vizsgálata.
• Fizikában grafikonok vizsgálata

Feladatok:
1. Írjuk le a f(x)=3x-x3 függvény menetét, ha a valós számok halmazán van értelmezve!
2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényt! 3. Adjuk meg a következő függvény értékkészletét!

Konfár László

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek