2. feladat
2004/03/21 16:52
1261 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Szerkesszünk szabályos ABC háromszöget, pozitív körüljárási iránnyal! Forgassuk el az A és B pontokat a BC oldal F felezőpontja körül 120°-kal, negatív irányba! Mit tapasztalunk? Indokoljuk meg sejtésünket! Ezek alapján szerkesszünk szabályos háromszöget, ha adott egyik oldalának felezőpontja, valamint egy-egy pont a másik két oldalegyenesen! Hány megoldása van a feladatnak az adatok különböző elrendezése mellett?

A feladat megoldása
Az ábrán láthatjuk, hogy az F pont körüli 120°-os forgatás az A és B pontokat olyan A', illetve B' pontokba viszi át, amelyek illeszkednek az AC egyenesre. A bázispontok mozgatásával azt is észrevehetjük, hogy a B' pont egybeesik az AC oldal felezőpontjával, valamint az A' pont egybeesik a B' pont C-re vonatkozó tükörképével. A fenti sejtések könnyen igazolhatók. Valóban, ha B' jelöli az AC szakasz felezőpontját, akkor az FB'C háromszög szabályos, és ezért FB'=FB, továbbá a BFB' szög kisebb-egyenlő 120°-nál, ami igazolja, hogy a B' pont egybeesik a B pont F pont körüli 120°-kal elforgatott képével. Megmutatjuk, hogy ha A' jelöli a B' pont C-re vonatkozó tükörképét, akkor A' egybeesik az A pont F körüli 120°-kal elforgatott képével. Ehhez csak azt kell észrevennünk, hogy az A'B'F háromszög egybevágó az ABF háromszöggel, hiszen megegyeznek két oldalukban, valamint az általuk bezárt szögben. Eddigi gondolatmenetünk a letölthető szerkesztés Forgatás F körül nevű fóliáján követhető nyomon. Fenti eredményeinket úgy is megfogalmazhatjuk, hogy az ABC szabályos háromszögben a BC oldal felezőpontja körüli 120°-os forgatás során az AB oldalegyenes az AC oldalegyenesbe megy át. E megállapítás alapján a szerkesztési feladat megoldása már nem túlságosan nehéz.
A Szerkesztés-Adatok fólián (javasoljuk, hogy a továbbiakban a Forgatás fóliát tegyük láthatatlanná) felvettük a szerkesztendő szabályos háromszög BC oldalának F felezőpontját, valamint a P és Q pontokat, melyek közül P az AB, míg Q a BC oldalegyenesre illeszkedik.
Az ABC háromszög szerkesztése a következőképpen végezhető el; először forgassuk el a P pontot az F pont körül 120°-kal, majd fektessünk egyenest a P1 képponton, valamint a Q ponton át. Korábbi megállapításunk alapján a kapott egyenes épp az AC egyenessel egyezik meg. Az ABC háromszög A csúcsát ezután az AC egyenes "visszaforgatott" (az F pont körül 120°-kal az előző forgatással ellenkező irányban elforgatott) képe metszi ki az AC egyenesből. A hiányzó háromszögcsúcsokat az AF szakaszra F-ben emelt merőleges egyenes metszi ki az oldalegyenesekből. A feladatnak általában két megoldása van, hiszen a P pont forgatása két irányban is történhet. A szerkesztéseket a Szerkesztés-forg.1 és a Szerkesztés-forg.2 fóliák tartalmazzák.
A feladat megoldásainak elemzése a bázispontok helyzetének változtatásával történhet. Érdemes megvizsgálni, hogy mely esetekben kapunk egy megoldást. Mik lehetnek ennek az okai? (Euklides-fájl)

Javasolt évfolyam: 8-10. évfolyam.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek