3. feladat
2004/03/21 16:54
624 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Szerkesszünk szabályos háromszöget körülírt körével! Szerkesszük meg a kör egy tetszőleges pontját, majd kössük össze a háromszög csúcsaival! Keressünk kapcsolatot a keletkezett három szakasz hossza között! Keressünk minél több olyan pontot a körön, amelyre sejtésünk "könnyen" igazolható! Bizonyítsuk be sejtésünk helyességét a körvonal többi pontjára is!

A feladat megoldása

Az adatok felvétele után a szakaszok hosszát az objektum címkéjeként "@s" jelsorozat megadásával lehet kiíratni (ld. ábra). A P pont helyzetének változtatásával megfigyelhető, hogy a P pont két háromszögcsúcstól mért távolságának összege minden esetben megegyezik a harmadik csúcstól mért távolságával. A dinamikus környezetet ezúttal a tapasztalatszerzésben használhatjuk ki eredményesen. 1. ábra

Hasznos lehet, ha minél több olyan pontot kerestetünk a diákokkal, amelyekre a fenti állítás helyessége egyszerűen igazolható. Ilyen pontok például a háromszög csúcspontjai, valamint a háromszögcsúcsokkal átellenes körpontok. Az utóbbi esetekben csak azt kell észrevennünk, hogy a megfelelő P pont egybeesik a háromszög középpontjának valamelyik oldalra vonatkozó tükörképével, és így az ábrán is látható PA és PC szakaszok hossza megegyezik a körülírt kör sugarával. 2. ábra Az általános helyzetű P pontra vonatkozó bizonyítás a Bizonyítás fólián látható.

Az alábbi ábra jelöléseit használva, jelölje az A' az A pont P körüli 60°-os forgatás melletti képét. Mivel a PAA' szög kisebb-egyenlő 60°-nál, valamint PA=AA', ezért a PAA' háromszög szabályos. Másrészt a APB szög kisebb-egyenlő 60°-nál (kerületi szögek tétele), amiből már következik, hogy az A' pont illeszkedik a PB szakaszra, továbbá PA'=PA. Tekintsük most az APC, valamint az AA'B háromszögeket. E két háromszög megegyezik két oldal hosszában, valamint a nagyobb oldalakkal szemközti szög nagyságában, hiszen a APC szög kisebb-egyenlő 120°-nál (ismét a kerületi szögek tételének alkalmazásával számolható), valamint a AA'B szög kisebb-egyenlő 120°-nál. A fentiekből következik, hogy PC=A'B, amivel beláttuk, hogy AP+PC=PB valóban teljesül.

  • Javasolt évfolyam: 10. évfolyam.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek