4. feladat
2003/04/17 18:05
873 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

Adott az ABC háromszög, valamint a vele tengelyesen tükrös helyzetű A1B1C1 háromszög. Húzzunk párhuzamost A1-en keresztül BC-vel, B1-en keresztül AC-vel, végül C1-en keresztül AB-vel. Mutassuk meg, hogy ez a három egyenes egy ponton halad át! (Euklides-fájl)

A feladat megoldása

Az 1. ábrán az ABC háromszög t egyenesre vonatkozó tükörképe az A1B1C1 háromszög. Az ábrán látható, hogy a feladat szövegében szereplő egyenesek valóban egy ponton (az ábrán ezt a pontot M-mel jelöltük) haladnak át. Az ábrán a szaggatott egyenesek párhuzamosak az ABC háromszög megfelelő színnel felvett oldalával.
1. ábra

A 2. ábrán annak igazolását láthatjuk, hogy a feladatban szereplő egyenesek valóban egy pontban metszik egymást. Ezt azáltal bizonyíthatjuk, hogy megmutatjuk, hogy bármely két egyenes az A1B1C1 háromszög körülírt körén metszi egymást. Tekintsük például az A1-en át BC-vel, valamint a C1-en át AB-vel húzott párhuzamos egyeneseket, és jelöljük a metszéspontjukat M-mel! A tükrözés megtartja a szögek nagyságát, ezért továbbá a párhuzamosság miatt ez a szög megjelenik az M pontnál is (ld. ábra). Ebből következik, hogy amiből adódik, hogy A1B1C1M húrnégyszög, vagyis az A1-en át BC-vel, valamint a C1-en át AB-vel húzott párhuzamosok valóban az A1B1C1 háromszög körülírt körén metszik egymást.
Némileg egyszerűbb annak igazolása, hogy a B1-en át AC-vel, valamint az A1-en át BC-vel húzott párhuzamosak szintén a körülírt körön metszik egymást, hiszen az A1B1 szakasz e két egyenes metszéspontjából, valamint a C1 pontból is ugyanakkora szög alatt látszik. (a 2. ábra jelöléseit használtuk.) Ebből a feladat állítása már következik.
2. ábra

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek