8. feladat
2003/04/17 18:07
1162 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

Egy egyenlő szárú háromszög alapjának belső P pontján át párhuzamosokat húzunk a szárakkal, amely párhuzamosok a szárakat az R és Q pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy a P pontnak az RQ egyenesre vonatkozó tükörképe illeszkedik a háromszögé köré írható körre! (Euklides-fájl)

A feladat megoldása
Az 1. ábra jelölései mellett az S2 pont mozgatásával változtathatjuk a letölthető mintaszerkesztésben a P belső pont helyzetét az AB oldalon. A P pont RQ egyenesre (t) vonatkozó tükörképét P' jelöli. Megmutatjuk, hogy P' illeszkedik az ABC háromszög körülírt körére.
1. ábra Először igazoljuk, hogy a P'RQC négyszög húrtrapéz ("P'RQC húrtr." fólia). Mivel az RPQC négyszög paralelogramma, ezért PR=QC, továbbá RPQ szög egyenlő a RCQ szöggel (2. ábra). A tengelyes tükrözés során a PR szakasz képe a P'R szakasz, így P'R=CQ, valamint RP'Q szög egyenlő RCQ szöggel. Ez azt is jelenti, hogy a PQ szakasz ugyanakkora szög alatt látszik a P' és C pontokból, vagyis P'PQC húrnégyszög, melyben két szemközti oldal hossza egyenlő, amiből szimmetria megfontolásokból következik, hogy egyben trapéz is. Ebből következik, hogy QCP' szög egyenlő a CP'R szöggel. 2. ábra Most igazoljuk, hogy az ARP' háromszög egyenlő szárú háromszög ("ARP' egyenlő sz. h." fólia). Mivel az APR háromszög oldalai párhuzamosak az ABC háromszög megfelelő oldalaival, ezért e két háromszög hasonló egymáshoz. Ebből adódóan azonban az APR háromszög is egyenlő szárú háromszög, továbbá AR=RP. Fentebb már láttuk, hogy RP'=PR, amiből következik, hogy AR=RP', vagyis az ARP' háromszög valóban egyenlő szárú háromszög, azaz AP'R szög egyenlő a RAP' szöggel (ld. 3. ábra). 3. ábra Most vizsgáljuk az ABCP' négyszög szemközti szögeinek összegét (4. ábra)! Ha az ABC háromszög alapon fekvő szögeit α jelöli, akkor valamint Látható, hogy e két szögösszeg egymással egyenlő, ami azt jelenti, hogy az ABCP' négyszögben a szemközi szögek összege 180°, vagyis valóban egy húrnégyszög. Ezzel a feladat állítását igazoltuk. 4. ábra

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek