8. feladat
2003/04/17 18:07
1203 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

Egy egyenlő szárú háromszög alapjának belső P pontján át párhuzamosokat húzunk a szárakkal, amely párhuzamosok a szárakat az R és Q pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy a P pontnak az RQ egyenesre vonatkozó tükörképe illeszkedik a háromszögé köré írható körre! (Euklides-fájl)

A feladat megoldása
Az 1. ábra jelölései mellett az S2 pont mozgatásával változtathatjuk a letölthető mintaszerkesztésben a P belső pont helyzetét az AB oldalon. A P pont RQ egyenesre (t) vonatkozó tükörképét P' jelöli. Megmutatjuk, hogy P' illeszkedik az ABC háromszög körülírt körére.
1. ábra Először igazoljuk, hogy a P'RQC négyszög húrtrapéz ("P'RQC húrtr." fólia). Mivel az RPQC négyszög paralelogramma, ezért PR=QC, továbbá RPQ szög egyenlő a RCQ szöggel (2. ábra). A tengelyes tükrözés során a PR szakasz képe a P'R szakasz, így P'R=CQ, valamint RP'Q szög egyenlő RCQ szöggel. Ez azt is jelenti, hogy a PQ szakasz ugyanakkora szög alatt látszik a P' és C pontokból, vagyis P'PQC húrnégyszög, melyben két szemközti oldal hossza egyenlő, amiből szimmetria megfontolásokból következik, hogy egyben trapéz is. Ebből következik, hogy QCP' szög egyenlő a CP'R szöggel. 2. ábra Most igazoljuk, hogy az ARP' háromszög egyenlő szárú háromszög ("ARP' egyenlő sz. h." fólia). Mivel az APR háromszög oldalai párhuzamosak az ABC háromszög megfelelő oldalaival, ezért e két háromszög hasonló egymáshoz. Ebből adódóan azonban az APR háromszög is egyenlő szárú háromszög, továbbá AR=RP. Fentebb már láttuk, hogy RP'=PR, amiből következik, hogy AR=RP', vagyis az ARP' háromszög valóban egyenlő szárú háromszög, azaz AP'R szög egyenlő a RAP' szöggel (ld. 3. ábra). 3. ábra Most vizsgáljuk az ABCP' négyszög szemközti szögeinek összegét (4. ábra)! Ha az ABC háromszög alapon fekvő szögeit α jelöli, akkor valamint Látható, hogy e két szögösszeg egymással egyenlő, ami azt jelenti, hogy az ABCP' négyszögben a szemközi szögek összege 180°, vagyis valóban egy húrnégyszög. Ezzel a feladat állítását igazoltuk. 4. ábra

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek