9. feladat
2003/04/17 18:07
672 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

Egy húrnégyszög átlóinak metszéspontját merőlegesen vetítjük a négyszög oldalaira, így kapjuk a P, Q, R, S pontokat. Mutassuk meg, hogy amennyiben ezek a vetületi pontok illeszkednek a húrnégyszög oldalaira, úgy a húrnégyszögbe írt négyszögek közül nincsen a PQRS négyszög kerületénél kisebb kerületű! (Euklides fájl)

A feladat megoldása
A letölthető mintaszerkesztésben az MA, MB, MC, illetve MD jelzésű pontok szolgálnak a húrnégyszög csúcsainak mozgatására. Az 1. ábra jelöléseit fogjuk használni; az ABCD húrnégyszög átlóinak metszéspontját M, az M pont oldalakra vonatkozó merőleges vetületét P, Q, R, S jelöli. Megmutatjuk, hogy a PQRS négyszög kerületénél nincsen kisebb kerületű beírt négyszög.
1. ábra Az előző feladatsorunkban látott ötletek alapján próbáljuk "kiteríteni" a PQRS négyszög kerületét! A szóban forgó négyszöget tükrözzük egymás után a megfelelő oldalegyenesekre. Úgy gondoljuk, hogy a 2. ábra minden további magyarázkodásnál jobban mutatja a lényeget. Reméljük, hogy Olvasóink elnézik nekünk a részletek további kifejtését, hiszen előző feladatsorunk 8. feladatában ezt már megtettük! A PQRS négyszög kerülete megegyezik az SPQ1R2S3 töröttvonal hosszával. Az ábra és a letölthető szerkesztés alapján is sejthetjük, hogy e töröttvonal belső csúcsai (P, Q1, R2) illeszkednek az SS3 szakaszra. A továbbiakban megmutatjuk, hogy a tükrözések során a PQRS négyszög szomszédos oldalai valóban egy egyenesre "terítődnek ki", azaz például az első tükrözés után az S, P, Q1 pontok egy egyenesre illeszkednek. Megmutatjuk továbbá, hogy AD párhuzamos A3D2-vel, valamint SD=S3D2. A fentiekből már következik, hogy a PQRS négyszög kerülete megegyezik a DD2 szakasz hosszával, és már korábbi írásunkban láttuk, hogy az AD oldal bármely belső S pontját csúcsként tartalmazó, az ABCD húrnégyszögbe beírt PQRS négyszög kerülete nem lehet kisebb a DD2 szakasz hosszánál, és ebből a feladat állítása már következik. 2. ábra Előbb megmutatjuk, hogy SD=S3D2. A tükrözés távolságtartó tulajdonsága alapján SD=S1D1=S2D2=S3D2, hiszen a szóban forgó szakaszok rendre egymásba mennek át az egyes tükrözések során. Megmutatjuk, hogy S, P és Q1 egy egyenesre illeszkednek. A bizonyításhoz a 3. ábra jelöléseit használjuk. Mivel az ABCD négyszög húrnégyszög, ezért DAC szög egyenlő DBC szöggel. De ugyanígy húrnégyszög az ASMP négyszög is, amiből következik, hogy SAM szög egyenlő SPM szöggel. Sőt, mivel QMPB is húrnégyszög, ezért MPQ szög egyenlő MBQ szöggel is teljesül. Az ábrán a szóban forgó, egymással egyenlő szögek mindegyikét egy ívvel jelöltük. Mivel tehát SPM szög egyenlő MPQ szöggel, ezért pótszögeik is megegyeznek, azaz SPA szög egyenlő QPB szöggel, amiből az AB egyenesre való tükrözés után a keletkező SPA szög egyenlő Q1PB szöggel, ami valóban azt jelenti, hogy S, P és Q1 egy egyenesre illeszkednek. Ehhez hasonlóan látható be, hogy a kiterítés után a keletkező SPQ1R2S3 töröttvonal valóban szakasszá fajul. 3. kép Maradt még annak igazolása, hogy a 2. ábra jelölése mellett AD párhuzamos A3D2-vel. Az előbb lényegében azt igazoltuk, hogy a PQRS négyszög szomszédos oldalai az ABCD négyszög megfelelő oldalaival ugyanakkora szöget zárnak be. Ebből következik, hogy ASP szög egyenlő DSR szöggel. A tükrözésekből kifolyólag azonban DSR szög egyenlő D2S3R2 szöggel, amiből adódik, hogy ASP és és D2S3R2 szögek váltószögek, vagyis AD valóban párhuzamos A3D2-vel.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek