90 = 100 ?
Tarcsay Tamás
2005/04/11 15:43
1039 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Ebben az írásban egy egyszerű(nek tűnő) feladatot mutatunk be, és azt, hogy milyen érdekes tapasztalatokra tehetünk szert, ha feladjuk tanítványainknak.

Már több alkalommal próbáltuk ezt, így az itt leírtak - talán - tipikusnak is mondhatók.

A feladat:
Az ABCD négyszögben AB=CD, ABC< = 90 fok, BCD< = 100 fok. Az AD és BC oldalak felező merőlegeseinek metszéspontja M. Mekkora a BMC szög?


Az első lépés az lehet, hogy ábrát készítünk, és ez alapján gondolkodunk. Gyakran az itt látható ábrán szereplő rajzhoz hasonló szokott készülni.

1. ábra Tekintettel arra, hogy az M a BC és DA szakaszok felezőmerőlegeseinek metszéspontja, igaz, hogy MA = MD és MB = MC. Ha felhasználjuk az AB = CD feltételt is, kapjuk, hogy az ABM és CDM háromszögek egybevágóak, így megfelelő szögeik egyenlők, így például ABM< = MCD< (1).

Ugyanakkor az BCM háromszög egyenlő szárú, ezért MBC< = MCB< (2).
Ha az (1) és (2) egyenleteket összeadjuk, akkor kapjuk, hogy ABC< = BCD<, azaz a derékszög egyenlő a 100 fokos szöggel.

E meglepő eredmény után el kell kezdeni azon gondolkodni, hogy a fenti gondolatmenetben hol a hiba. Ez nem megy könnyen, hiszen minden gondolati lépést kellően megindokoltunk, nehéz a hibakeresés.
Néhány gyerek azért szokott lenni, aki rájön, hogy a problémát az okozza, hogy a feladatban szereplő szakaszfelező merőlegesek nem a négyszögön belül metszik egymást. Új, jobb ábrát kell készíteni.
2. ábra Ekkor szokott következni a 2. ábrán látható rajz elkészítése.

A korábban már vázolt gondolatmenettel itt is dolgozhatunk, és itt is arra jutunk, hogy a derékszög egyenlő a száz fokos szöggel.

Ez a megállapítás még az előzőnél is nagyobb megrökönyödést szokott okozni, ami érthető is, hiszen a gyerekek megtalálták az első gondolatmenet hibáját, rátértek a helyes útra, és azon haladva ugyanarra az eredményre jutottak, mint korábban.

Következhet az újabb hibakeresés. Ez gyakran - nem egészen véletlenül - nem fér be az órába, és így házi feladatul lehet adni a további vizsgálódások elvégzését.
Segítségül azt ajánlhatjuk, hogy tanítványaink otthon szerkesszék meg, akiknek van valamilyen geometriai szoftvere a számítógépén, rajzolják meg a feladat hozzávetőlegesen pontos ábráját.

Amikor a gyerekek által kapott eredmények iránt érdeklődünk, azt szokták mondani, hogy a második ábrán az a baj, hogy "kifordítottuk" az MCD háromszöget. Akkor megint új ábrát kell készítenünk.

3. ábra Ezen a rajzon gondolkodva aztán már eljuthatunk a megoldáshoz. A megoldás menetét nem részletezzük itt, de talán érdemes elgondolkodni rajta. Azt kapjuk, hogy a keresett BMC< 10 fokos.

A feladatot megoldottuk végre, de még ekkor sem dőlhetünk hátra nyugodtan a tábla előtt, mert azok a gyerekek, akik sokat gondolkodtak a problémán, és nem jutottak el a megoldáshoz, most hitetlenkedni kezdenek.
A vizsgálódásaikból előszedik azokat a meggondolásokat, amelyek cáfolni látszanak a megoldást.

Most egyet említünk csak meg az ilyen felvetésekből, azt is azért, mert érdekes problémához vezet.

Az egyik fiú azt mondta, hogy ha mozgatja a C pontot az oldal egyenesén, eközben a keresett BMC< állandóan változik, és ez ellentmond annak, hogy nagysága állandó, 10 fokos.

Aki tudja a felvetett probléma megoldását, az írja meg nekünk!

Tarcsay Tamás



Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek