A bizonyítások tanítása
Tarcsay Tamás
2004/04/13 12:59
1378 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A matematikaórákon, dolgozatok előtt sokszor elhangzik az a kérdés, hogy "Bizonyítás is lesz?". Ez azt mutatja, hogy a bizonyításoktól sokan félnek. Pedig, ha jól tanítják és tanuljuk, a bizonyítások sem olyan rémesek.

A bizonyítások, vagyis a hipotézisek felállítása és azok igazságának ellenőrzése hétköznapi emberi tevékenység, sokkal természetesebb dolog, mint például a számolás.

Gondoljuk meg!

Minden esetben, amikor átmegyek az út túloldalára, akkor indulok el, amikor feltételezhetően egyetlen járművel sem fogok ütközni, és minden sikeres megérkezés egyben ennek a hipotézisnek az igazolása.

Ne gondoljuk, hogy ez a gondolatmenet nagyon távol áll a matematikától! Lakatos Imre, a magyar származású matematikus írta, hogy bizonyítani annyit jelent, hogy a kevésbé hihető matematikai állításokat egyszerűbb, hihetőbb állításokká bontjuk fel. Ebbe a meghatározásba belefér az összes hagyományos bizonyítási technika, de azokon kívül nagyon sok más eljárás is, pl. az interaktív valószínűségi bizonyítások, amelyekről Lovász László tartott előadást.

A matematikai bizonyítások gondolatának megértését segítheti egy olyan probléma megismerése, ami látszólag messzire esik a matematikától.

A königsbergi hidak

A házikó rajzolás egyetlen vonallal szokásos kisiskolás rejtvény.

Biztosan meglepődnek a gyerekek, ha megtudják, hogy hasonló problémákkal komoly matematikusok is foglalkoztak. Például Euler észrevette, hogy megoldhatatlan feladat az összes königsbergi hídon végigmenni úgy, hogy minden hídon pontosan egyszer mehetünk át. A königsbergi hidak A probléma a modern matematika egyik területének, a gráfelméletnek kialakulásához vezetett el.

A tanítás szempontjából a königsbergi hidak problémáját kétfelé bonthatjuk. Részben a technikai jellegű kérdésekre, hogyan befolyásolja az egy pontba befutó élek számának párossága illetve páratlansága az ábra megrajzolhatóságát. Másrészt remek alkalom kínálkozik a megolhatatlanság és ezzel a bizonyíthatóság kérdésének vizsgálatára.

Az eredeti feladat nem triviális, de nem túl nehéz. Az általános iskolás gyerekek is hamar rájönnek arra, hogy nem tudják megrajzolni az ábrát, nem tudnak olyan útvonalat megadni, ami minden hidat érint, de csak egyszer.

Itt a helye a kérdésnek: Ti nem tudjátok megoldani vagy egyáltalán nem lehet megoldani a problémát? És a következőnek: honnan lehet tudni, hogy ezt a feladatot soha, senki nem fogja tudni megoldani?

A gyerekek már sok matematikai állítást hallottak, azokról megtanulták, hogy örök időkre igazak, pl. az egyenlet megoldás(halmaz)a nem változik, ha az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot hozzáadjuk. Ezen talán nem is gondolkodnak el. Pedig érdekes probléma rejtőzik a háttérben: honan tudunk mi igaz állításokat mondani, olyanokat amelyek a jövő beláthatatlan messzeségében is igazak? Az ellentétes jellegű állítás provokálóbb. Honnan lehet tudni, hogy az adott probléma örök időkre megoldhatatlan?

A magyarázat keresése során egy érdekes bizonyítási fogáshoz érkezünk: ha egy összetett probléma valamely eleméről kiderül, hogy megoldhatatlan, akkor nyilvánvalóan az egész probléma is az. A gráfok körében a részprobléma nagyon szemléletesen jelenik meg: részgráf formájában.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten