A Feuerbach-kör tanítása számítógép segítségével
2004/09/05 00:31
2164 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Ebben az írásban tippeket adunk a Feurbach-kör számítógéppel támogatott tanításához. Tesszük ezt olyan formában, hogy egy lehetséges utat mutatunk be a témakör geometriai szerkesztőprogrammal támogatott feldolgozásához.

Rovatunkban már sok szó esett arról, miként lehet alkalmazni számítógépet, illetve különböző programokat a matematikaórákon. Arról azonban sajnos kevesebbet lehet olvasni, hogy a számítógép tanórai alkalmazásának milyen módszertani kérdései vannak, illetve egyes témaköröket konkrétan milyen felépítésben érdemes tárgyalni. A számítógéppel támogatott matematikaoktatás legfontosabb eleme, hogy a tanulók önálló kísérletezés után saját maguk fedezhetik fel a matematikai tételeket. A tanár feladata, hogy e kísérletet irányítsa, kérdéseivel, utasításaival motiválja a kísérletező nebulókat.
Ebben az írásban arra vállalkoztunk, hogy tippeket adjunk a Feurbach-kör számítógéppel támogatott tanításához. Tesszük ezt olyan formában, hogy egy lehetséges utat mutatunk be a témakör geometriai szerkesztőprogrammal támogatott feldolgozásához. A letölthető EUKLIDES szerkesztés fóliáihoz kérdéseket mellékeltünk, amelyek remélhetőleg megkönnyítik a tananyag feldolgozását. Természetesen itt bizonyítás nélkül szerepeltetjük a nevezetes tételeket, mivel a bizonyítások számos szakkönyvben megtálalhatók.

1. Az első lépések
Vegyük fel az ABC háromszöget, majd szerkesszük meg oldalfelező pontjait (FA, FB, FC)! Mozgassuk az ABC háromszög csúcsait! Milyen kapcsolatot vélünk felfedezni a két háromszög között? Fogalmazzuk meg tapasztalatainkat a geometria nyelvén! Milyen geometriai transzformációval viszi az egyik háromszöget a másikba? Hogyan tudnánk ellenőrizni megfogalmazott sejtéseinket?

A "várható" válaszok
Az FAFBFC háromszög oldalai páronként párhuzamosak az ABC háromszög oldalaival, vagyis a két háromszög hasonló egymáshoz. Az ABC háromszöget a súlypontra vonatkozó -1/2 arányú középpontos hasonlósággal vihetjük át az oldalfelező pontok alkotta háromszögbe.
2. Körök
Szerkesszük meg az ABC, majd az FAFBFC háromszög körülírt körét! Korábbi eredményeink alapján mit állíthatunk a két kör sugarának arányáról? Szerkesszük meg a körök középpontját! Illesszünk egyenest a két középpontra! Mit tapasztalunk? Mi lehet ennek az oka? Találunk-e olyan háromszöget, amelyből kiindulva a két kör koncentrikus? Ha igen, melyek ezek?

A "várható" válaszok
Az FAFBFC háromszög körülírt körének sugara feleakkora, mint az ABC háromszög körülírt körének sugara, hiszen ez az arány megegyezik a hasonlóság arányával. A két középpontra illeszkedő egyenes nyilván tartalmazza a súlypontot is, hiszen pont, annak képe, valamint a hasonlóság középpontja egy egyenesre illeszkedik. Erről meggyőződhetünk az ABC háromszög csúcsainak mozgatásával. Szintén a "bázispontok" mozgatásával válaszolhatunk a két utolsó kérdésre; a szabályos háromszögekben a két kör koncentrikus. Az FAFBFC háromszög körülírt körét az ABC háromszög Feuerbach-körének nevezzük.
3. Feuerbach-kör
A következő kérdések a Feuerbach-kör néhány figyelemreméltó tulajdonságára vonatkoznak.
Szemléltessük dinamikus geometriai módszerekkel, hogy az ABC háromszög súlypontjára vonatkozó arányú középpontos hasonlóság az ABC háromszög körülírt körét valóban a Feuerbach-körbe viszi át! Készítsünk erre vonatkozóan animációt! Keressünk néhány további nevezetes pontot a Feuerbach-körön! Szerkesszük meg az ABC háromszög magasságpontját. Milyen arányban osztja a Feuerbach-kör a magasságpont és az ABC háromszög csúcsai közti szakaszokat?

A "várható" válaszok
Szépen szemléltethető dinamikus módszerekkel, hogy az ABC háromszög súlypontjára vonatkozó, -1/2 arányú középpontos hasonlóság az ABC háromszög körülírt körét a Feuerbach-körbe viszi át. Ehhez hasonló kérdések megválaszolásához a következő módszert javasoljuk. Szerkesszünk egy futópontot a körülírt körön (pl. a szokásos vetítéses módszerrel), majd szerkesszük meg a futópont képét. Miközben egy animációban a futópontot futtatjuk a körülírt körön, a képe által leírt alakzat "körvonala" mutatja a körülírt kör képét. Alakzat transzformált képe az animáció mellett a nyomvonalmegjelenítés módszerével is ábrázolható. (Részleteket ld. a szerkesztés megfelelő fóliáján.)
Az interaktivitás eszközeivel könnyen kereshetünk további nevezetes pontokat a Feuerbach-körön. Ha megfelelő mennyiségű időt hagyunk a diákoknak, akkor önállóan találhatják meg a magasságvonalak talppontjait, illetve kisebb irányítás mellett a magasságpont és a csúcsok közti szakaszok felezőpontját.
4. Magasságpont
Láttuk, hogy az ABC háromszög csúcsai, valamint a magasságpontja közti szakaszok felezőpontja illeszkedik a Feuerbach-körre. Fogalmazzuk meg a geometria nyelvén, hogy milyen transzformációval lehet a körülírt kört a Feuerbach-körbe transzformálni! Ellenőrizzük sejtésünket dinamikus módszerekkel!

A "várható" válaszok
Eredményeinket úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a magasságpontra vonatkozó 1/2 arányú kicsinyítés a körülírt kört a Feuerbach-körbe viszi át. Erről ugyanolyan módszerekkel győződhetünk meg, mint az előbb. Ha a körülírt kör, valamint a Feuerbach-kör középpontjára illeszkedő egyenest láthatóvá tesszük, akkor azonnal megsejthető, hogy ez az egyenes tartalmazza a magasságpontot is. Ezzel eljutottunk az Euler-egyenes fogalmához. Eredményeinkből könnyen levezethető, hogy a súlypont 1:2 arányban osztja fel a körülírt kör középpontja és a magasságpont közti szakaszt.

5. További körök
Gyakorló feladatként adható a háromszög néhány további nevezetes körének szerkesztése, mint pl. a beírt, vagy a hozzáírt körök. A bázispontok mozgatása mutatja, hogy az említett körök mindegyike érinti a háromszög Feuerbach-körét.

Árki Tamás

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek