A Fourier-sorokról
Tarcsay Tamás
2003/10/08 08:00
1396 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Nádori Gergely tanár úr, a Biológia rovat vezetője kérte, hogy az idei orvosi Nobel-díj kapcsán ejtsünk szót a Fourier-sorokról. E témakör komoly matematikai előismeretek nélkül nem nagyon tárgyalható, de azért megpróbálkozunk vele.

2gif_1

A fenti animáció úgy készült, hogy a (-Pi, Pi) inrtervallumon ábrázoltuk az
függvényt, miközben növeltük az n értékét. (Az n értéke 1-től 40-ig változik, majd újra indul az animáció.)

Ez azt jelenti, hogy egyre több tagot adtunk össze az f(x)képzése során.

Láthatjuk, hogy az n növelésével a grafikon egy jól ismert függvény, a másodfokú hatványfüggvény grafikonjához, az úgynevezett normál parabolához "közelít".

Megmutatható, hogy ez a közelítés az n növelésével tetszőlegesen javítható. Ezt a tulajdonságot a matematika nyelvén úgy szoktuk megfogalmazni, hogy

Az egyenlőség jobb oldalán látható végtelen összeg (függvénysor) a másodfokú hatványfüggvény Fourier-sora.

Az ezekre a függvényekre vonatkozó elmélet szerint a függvények egy elég nagy családja (a (- Pi, Pi ) intervallumon integrálható függvények halmaza) rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy a Fourier-soruk képezhető. Ennél szűkebb halmazra igaz csak az, hogy elemei Fourier-sora egyenlő velük.

A Fourier-sor fogalma a XVIII. század végéről származik, és Szőkefalvi-Nagy Béla professzor szerint ez egyike a matematikai analízis legnagyobb horderejű fogalomalkotásainak [1].

Néhány szó a gyakorlati alkalmazásokról

Már a Fourier-sorok elméletének kiindulópontjául is fizikai problémák szolgáltak. Ezek a következők voltak:

  1. A rezgő húr problémája [1]
    A feladat egy transzverzális síkrezgéseket végző húr alakjának meghatározása tetszőleges t időpillanatban.
    Erről a problémáról D'Alambert , Euler és Daniel Bernoulli között bontakozott ki egy vita. Ez vezetett el a Fourier-sorok fogalmának kialakulásához.
  2. Egy hővezetési probléma [1], [2]
    Egy homogén fémrúd két vége állandóan 0 Celsius fokos tartályhoz van rögzítve, a huzal hőszigetelővel van körülvéve, és ismert a hőmérséklet-eloszlás a huzalon a vizsgálat kezdetének pillanatában.
    Kérdés az, hogy milyen módon számítható ki a hőmérsékleteloszlás egy t>0 időpillanatban.
    Fourier 1807-ben megjelent, e témával foglalkozó dolgozata új lendületet adott az előbb említett probléma vizsgálatához is.


Komoly szerepe van a Fourier-soroknak a digitális módon történő jelfeldolgozásban [3], de az Országos Meteorológiai Szolgálat (OMSZ) egyik legfontosabb nemzetközi együttműködéséről tudósitó web-oldalon is találkozhatunk velük. Az emberi beszéd szintetizálásában, a hangszerek készítésében, a különböző akusztikai vizsgálatokban is szerepet kapnak ezek a nevezetes sorok.


A 2003. évi orvosi Nobel díjat Paul C. Lauterbur amerikai és Peter Mansfield brit tudós kapta a mágneses rezonancia elvét hasznosító tomográfia (MRI) fejlesztéséért.
Gerjesztett hidrogén atomok sugárzását vizsgálják. Tekintettel arra, hogy sok atom van, a kapott eredő rezgés tagjait a Fourier-analízissel (egy rezgés felbontása a Fourier-sorban szereplő trigonometrikus tagokra) választják el egymástól.


Láthatjuk, hogy a Fourier-soroknak nemcsak az elméleti jelentőségük kiemelkedő, hanem a gyakorlatban is nagyon fontosak.

Irodalom

  • [1] Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest, 1975.
  • [2] Németh József: Előadások a végtelen sorokról. Polygon, Szeged, 2002.
  • [3] Gyimesi László: Digitális jelfeldolgozás.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek