A Lotka-Volterra egyenletek
Nádori Gergely
2007/09/23 16:41
2141 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A biológiáról többnyire úgy tartják, hogy a természettudományok közül ehhez kell legkevesebb matematikai ismeret. Cikkünkben egy jelenséget mutatunk be (a rgadozó és zsákmány populációk kölcsönhatását), ami matematikai modellekkel vizsgálható jól.
Egy ragadozó és áldozata (forrás: wikimedia)

Az mindenki számára egyértelmű, hogy az élő közösségekben a populációk egymással kölcsönhatásban vannak. Ezeket a kölcsönhatásokat aszerint is csoportosíthatjuk, hogy ez egyes populációk egyedszámát növelik vagy csökkentik. Ilyen kapcsolat például a szimbiózis vagy a kommenzalizmus. Az egyik populációt növelő, a másikat csökkentő kapcsolatok egyik fajtája az, ami a ragadozók és a zsákmányaik között van. Nem egyszerű ez akapcsolat, hiszen ha túlságosan elszaporodnak a ragadozók, a zsákmányállatok száma is csökken, ami a ragadozó populációk csökkenését vonja maga után. A kisebb számú ragadozó mellett viszont elszaporodhatnak a zsákmányállatok és ez így folytatódhat megállás nélkül. Az, hogy pontosan miként változik a két populáció egyedszáma már nem olyan egyértelmű. Ennek leírásához dolgozott ki egy matematikai modellt egymástól függetlenül két kutató Alfred J. Lotka és Vito Volterra 1925-ben és 1926-ban.

Egyszerű modelljükben a zsákmány populáció növekedése az adott populáció méretétől, csökkenése a ragadozó populációétól függ. A ragadozóknál pont fordítva, növekedésük függ a zsákmány populáció méretétől, míg csökkenésüket a saját populációjuk mérete szabja meg. Ebben a modellben tehát négy paraméter van: a zsákmánypopuláció növekedési sebessége (legyen ez a), annak az esélye, hogy egy ragadozó elkap egy zsákmányt (b), annak a mértéke, hogy egy elfogott zsákmányállat mennyivel járul hozzá a ragadozók szaporodásához (c), valamint a ragadozók elhalálozási sebessége (d). (Érezhető, hogy a modell szinte képtelen leegyszerűsítéseket tartalmaz, pl. a ragadozók nélkül a zsákmány populáció a végtelenségig nő. De ezért csak modell, nem pedig a valóság, és még így is izgalmas következtetéseket vonhatunk le belőle.)

Ezen paraméterek mellett, ha a zsákmány populáció egyedszáma egy nemzedékben Z, akkor a következő nemzedékben Z+aZ-bRZ, ahol R a ragadozó populáció egyedszáma. A ragadozók egyedszáma pedig R+cZR-dR lesz. Nem tűnik túl bonyolultnak a dolog, de az, hogy ezek után akárhány generáció elteltével meg tudjuk mondani, hogy mekkora lesz éppen a zsákmányállatok és a ragadozók egyedszáma már komolyabb matematikai apparátusra, pontosabban differenciálegyenletekre van szükségünk. A differenciálegyenleteknek ezt a típusát Lotka-Volterra egyenleteknek nevezik. A Lotka-Volterra egyenletekről bizonyítható, hogy van megoldásuk, és az is, hogy pontosan (analitikus módszerrel) nem oldhatóak meg. A megoldást csak közelítő (numerikus módszerekkel kaphatjuk meg).

Elméletileg azonban az is könnyen bizonyítható, hogy a modellnek van ugyan stabil pontja (olyan paraméterei, ahol az egyedszámok változatlanok, de ez a pont nem attraktora (azaz más pontokról nem tart efelé és nem is jut el a stabil pontba). A stabil állapot a Z=d/c és R=a/b paramétereknél és kezdeti értékeknél érhető. minden ettől eltérő értéknél az egyedszámok periodikusan fognak változni. A függvénynek ez a viselkedése már a matematikusok számára is hosszú időre tartogatott érdekességeket. A differenciál egyenletek egy külön típusát alkotják a Lotka-Volterra típusba tartozók, melyeknek külön specialistái vannak. De mi a Lotka-Volterra egyenletek biológiai következtetése?

Bár a természetben ritkán valósulhatnak meg azok a feltételek, amiket a modell megkövetel, bizonyos periodicitások mégis jól magyarázhatóak vele. Némi továbbfejlesztéssel (és még több matematikával) aztán már sokkal informatívabb modellek is előállíthatók a Lotka-Volterra modell alapján.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek