A nem-euklideszi geometriák a közoktatásban
2002/09/02 08:00
1017 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Ebben az évben, amikor Bolyai János születésének 200. évfordulóját ünnepeljük, talán el sem kerülhető az a kérdés, hogyan hozható közel a róla elnevezett geometria a középiskolás diákokhoz. Ebben a cikkben a rovatvezető foglalja össze az ezzel kapcsolatos gondolatait abban a reményben, hogy sikerül felkeltenie a diákok és tanárok érdeklődését a hiperbolikus geometria, illetve annak tanítása iránt.

Az elmúlt tanév végén tagja voltam egy bizottságnak, amely előtt a tanulmányaikat befejező matematika szakos tanárjelöltek tettek záróvizsgát. Az egyik vizsgatétel a nem-euklideszi geometriákról szólt. Ennek kapcsán egy beszélgetés során a bizottság tagjai között felvetődött az a kérdés, hogy e témakör alapjai mennyire taníthatók a közoktatásban. Én egy kicsit szkeptikus voltam, azt az álláspontot hangoztattam, hogy ez a matematikai tudományterület távol áll a középiskolásoktól, így nem nagyon oktatható a középiskolában.

A bizottságban helyet foglaló kollégák közül többen azon a véleményen voltak, hogy meg lehetne, és meg is kellene próbálkozni nem-euklideszi geometriai problémák közoktatásban való tárgyalásával. A beszélgetés közben felötlött bennem az is, hogy néhány évvel ezelőtt megismerkedtem a Dr. Szilassi Lajostanár úr által készített, Bolyai nevét viselő programmal, ami a Bolyai-geometria hiperbolikus síkjának Poincare -féle körmodelljét mutatta be. Akkoriban ezt a programot megmutattam a tanítványaimnak, és nagy sikert aratott a körükben.

Ezek után következtek a 2002. évi Rátz László Vándorgyűlés plenáris ülésén elhangzott előadások, amelyek ezzel a témával foglalkoztak. Most már együtt voltak tehát a motivációt adó elvárások is és az elvárásoknak megfelelést segítő tárgyi és módszertani segédeszközök is. A szkepticizmusom alapjaiban megrendült, következésképp a tanítás lehetőségeiről kellett gondolkodnom. Töprengéseim terméke ez a cikk is.

Ebben a dolgozatban egy olyan tárgyalásmódot vázolunk fel, amely tanítási tapasztalattal nincs megtámogatva, tehát levegőben lógónak is nevezhető. Semmiképpen nem állítjuk, hogy az itt közölt gondolatmenet jó, ez csak egy tanárember elképzeléseit tükrözi. Azért tesszük most közzé mégis ezeket a gondolatokat, hogy az érdeklődő diákok olyan feldolgozásban olvashassanak a nem-euklideszi geometriákról, amihez nem szükséges középiskolai matematikai ismereteket meghaladó tudással rendelkezniük. A tanár kollégák számára talán érdeklődést felkeltő, egy lehetséges tárgyalásmódot felvillantó olvasnivalót adunk.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ebben az írásban csak a Bolyai-program segítségével vizsgálható tulajdonságokat gyűjtjük össze. Ezen állítások a középiskolában oktatott geometria anyag birtokában, a geometriai inverzió és annak tulajdonságai ismeretében igazolhatók, jobb képességű tanulócsoportokban talán érdemes is néhány bizonyításra időt szánni.Tekintsünk az S síkon egy O középpontú, r sugarú nyilt körlapot (k). Ennek pontjait a következőkben h-pontoknak fogjuk nevezni. A h-pontok halmaza legyen a h-sík. A k határának nevezzük az O középpontú, r sugarú kört (k0). A k0-t merőlegesen metsző körök k-ba eső ívét valamint a k átmérőit hegyeneseknek hívjuk. A mellékelt ábrán két hegyenes látható pirossal jelölve. Tekintettel arra, hogy a h-egyenes körív vagy szakasz, igaz, hogy végtelen sok h-pontot tartalmaz és két egymással ellentétel irányítás megadható rajta.

A Bolyai program egyik funkciója az, hogy két adott pontra illeszt h-egyenest.

Érdemes lehet ezt használtatni a gyerekekkel, és eközben megsejthetik, hogy

1. tétel:

A h-sík bármely két h-pontjához létezik pontosan egy olyan h-egyenes, amelynek azok elemei.

A Bolyai programmal egy ábrába több h-egyenest is rajzolhatnak a tanulók, így azok kölcsönös helyzetét is vizsgálni tudják. Ekkor már felvethető az a kérdés, hogy két h-síkbeli h-egyenesnek hány közös h-pontja lehet.

Az 1. tételből is következik, hogy egynél több közös h-pont nem lehet, olyan h-egyeneseket tudunk ábrázolni, amelyeknél a közös pontok száma 0 vagy 1. Már is eljutottunk a következő tételhez:

2. tétel:

A h-sík bármely két hegyenesének legfeljebb egy közös h-pontja lehet.
A definícióból következik a

3. tétel:

Van három nem egy egyenesre eső h-pont a h-síkban.

Ha elérkeztünk idáig az új fogalmak vizsgálatában, akkor a gyerekeknek feltűnhet hogy a "h"-s fogalmak eddigi tulajdonságai nem különböznek a "h-nélküli" pont, egyenes és sík tulajdonságaitól. Van olyan tulajdonság, ami már eltérést mutat?

Legyen he h-egyenes a h-síkon tartójának a k0-val való metszéspontjai legyenek A és B. P egy olyan h-pont a h-síkon ami nem eleme a he hegyenesnek. Legyen hb az a hegyenes, aminek tartója B-ben metszi k0-t és átmegy a P-n. A hb-nek és a he-nek nincs közös h-pontja, hiszen a B nem h-pont.

Legyen ha az a hegyenes, aminek tartója A-ban metszi k0-t és átmegy a P-n. az előzőekhez hasonlóan a ha-nak és a he-nek nincs közös h-pontja. (Megjegyezzük, hogy az itt szereplő ábrát a gyerekek a Bolyai-program segítségével maguk is elkészíthetik.)

Találtunk tehát a P-n átmenő két különböző h-egyenest, amelyeknek nincs közös pontja he-vel. Ez már komoly eltérés a korábbi ismeretekhez viszonyítva, hiszen az Euklidesztől származó párhuzamossági axióma szerint egy adott egyenesre nem illeszkedő, adott ponton keresztül csak egyetlen olyan egyenes húzható a síkban, ami az adott egyenest nem metszi. Mi pedig már találtunk két olyan h-egyenest P-n keresztül, ami nem metszi he-t. A kapott erednény azt mutatja, hogy a h-síkon levő h-ponLépjünk egy kicsit tovább! Az előző ábrában vegyünk fel egy E pontot a k0 kör azon BC körívének belsejében, ami nem tartalmazza a D pontot. Legyen hc az a hegyenes, amelynek tartója E-ben metszi k0-t és átmegy a P-n. (Ez az ábra is elkészíthető a Bolyai programmal.) Látható az, hogy a hc-nek és a he-nek nincs közös hpontja. Igaz tehát, hogy

4. tétel

Adott h-egynesre nem illeszkedő h-pontra végtelen sok olyan h-egyenes illeszkedik, ami az adott egyenest nem metszi.

Kaptuk tehát azt, hogy a h-síkon levő h-pontok és h-egyenesek geometriája nem-euklideszi geometria. Eljutottunk ahhoz, hogy a "h-geometriának" nevet adjunk, hiperbolikus geometriának kereszteljük el, és szót ejtsünk Bolyai Jánosról az új Világ létrehozójáról.

A Bolyai-program rengeteg érdekes további lehetőséget rejt magában. Mód van például a "h-háromszögek" belső szögei összegének és nevezetes egyeneseinek vizsgálatára, a h-síkon alkalmazott egybevágósági transzformációk és azok tulajdonságai bemutatására is. Gyönyörű ábrákat kaphatunk a h-sík egybevágó háromszögek segítségével történő kiparkettázásával. Érdeklődő gyerekek sok ismeretet szerezhetnek a funkciók használatával.

Ebben a cikkben csak azt a minimális ismertanyagot foglaltuk össze, ami egy általános képességű osztályban Bolyai János geometriájából megmutatható, és talán ebben az évben, amikor a nagy magyar matematikus születésének 200. évfordulóját ünnepeljük, meg is kell mutatnunk.


Irodalom:

Dr. Szilassi Lajos: A hiperbolikus geometria Poincaré - féle körmodellje (Háttérismeretek a BOLYAI.EXE számítógépi programhoz)

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek