A számító Mátrix avagy a mátrixszámítás?
Tarcsay Tamás
2003/07/21 12:34
1332 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Napjaink filmélményei kapcsán egy fontos matematikai fogalom került a közbeszédbe. Érdemes talán részletesebben szólni róla egy matematikával foglalkozó web-oldalon is.

Mátrix

Most, a filmek kapcsán úgy érzem érdemes a mátrixokról ejteni néhány szót, mielőtt a mátrix szóhoz végleg az emberiség elnyomására törekvő számítógépi program együttes képzete társulna.

A mátrix természetesen nem ez, hanem táblázatba rendezett számok együttese, a virtuális világhoz pedig csak annyi köze van, hogy szinte nincs olyan másodperc egy számítógépes kalandjáték során, amikor ne transzformálnának több százszor a mátrixok, létrehozva az újabb és újabb izgalmas grafikákat a képernyőn.

Vagy: nagy felhasználója a rendezett számtáblázatoknak a gazdasági élet. Ki gondolná, hogy egy-egy számtáblázat és az azokon végzett műveletek során akár dollármilliárdos üzletek dőlhetnek el, vagy hadászati stratégiák kialakítása során életek ezreinek sorsát döntheti el egy-egy mátrix? (Ezt még magam sem gondoltam.) Úgyhogy ilyen értelemben mégiscsak, és nem is csekély mértékben, a mátrixoktól függünk.

Tenyeremben a mátrixszal

Ha ilyen nagy a mátrix jelentősége, akkor miért nem hallunk róla nap, mint nap? Ennek valószínűleg az lehet, az oka, hogy akik a híreket gyártják azok sem hallottak róla, vagy ha igen, nem találták elég érdekesnek.

Tényleg unalmas dolog-e a mátrix, vagy csak hatásos? Azt mondják, azok a dolgok érdekesek, amelyek igazán nagy hatással vannak a földi lét menetére. Akkor a mátrix mégsem lehet unalmas, csak legfeljebb nem elég ismert.

Itt az ideje, hogy fülön csípjünk egy mátrixot, és kirángassuk rejtekhelyéről. Csakhogy a mátrix csak úgy magától nem létezik, azt csinálni szokták. Készítsünk mi is egyet! Nem kell mást tennünk, mint hogy téglalap alakú (fontos a téglalap alak kihangsúlyozása, hiszen van háromszög alakú táblázat is) táblázatba sorokba és oszlopokba rendezzük a számokat. A számok helyét a sorszámuk és oszlopszámuk alapján határozhatjuk meg. A tenyeremben lévő mátrix harmadik sorában és második oszlopában lévő eleme az 5.

Mátrix. Púp a síkomon?

Hát igen. Ez legalább olyan izgalmasnak tűnik, mint egy kősivatagban az egyik kavics. De nem a külcsín számít, hanem hogy mit művelhetnek vele. A kavics is tud izgalmakat okozni, ha például a fejünk felé repül. Tömege, keménysége rögtön fontos tulajdonsággá válik. A mátrixban is az a jó, hogy összeszorozhatjuk egy másik mátrixszal és egy harmadik mátrixot kapunk. Ez olyan fontos tulajdonság, hogy ha jókor használja az ember jó helyen, akkor értéke milliókban mérhető. Persze kezdetnek elég annyi is, hogy a mátrix a sík egy pontját másik helyre pattintja.

A P pont helyét a síkon az (1; 2) koordináta pár adja meg. Ez is egy mátrix. Olyan mátrix, amelynek egy sora és két oszlopa van. Ha egymás alá írjuk a számokat, akkor két soros egy oszlopos mátrixot határoznak meg a koordináták. Ez utóbbi mátrixszal megszorozzuk az ábrán látható 2x2-es mátrixot, és a kapott számpár koordinátaként való felfogásával egy új pontot kapunk, a P'-t. Aki tud mátrixokkal szorozni, az így pöckölgetheti vele a pontokat egyik helyről a másikra.

mátrix × mátrix = ?

Mátrixszorzást viszont könnyebb elvégezni, mint leírni a módját.

Az ábrán látható mátrixszorzás lépései megtekinthetők, ha a gombra kattintunk.

Kezdetben a bal oldali mátrix első sorának elemeit szorozzuk össze a második mátrix első oszlopának elemeivel. Természetesen nem tetszőlegesen tesszük, hanem a megfelelő sorszámút a megfelelő sorszámúval szorozzuk össze. Majd az így kapott szorzatokat összeadjuk, ezzel megkaptuk az új mátrix első sorában és oszlopában lévő elemét.

Teljesen hasonló módon járunk el mikor a baloldali mátrix második sorának elemeit szorozzuk össze a jobboldali mátrix első oszlopával. Az összegzés után az új mátrix második sorában és első oszlopában lévő elemet kapjuk meg.

Felmerülhet a kérdés, hogy mi van akkor, ha a jobboldali mátrix oszlopai hosszabbak, vagy rövidebbek, mint a baloldali mátrix sorai, hiszen ezekben az esetekben lesznek elemek, amelyeknek a szorzáshoz nem jut pár? Ezekben az esetekben a válasz egyszerű: Nem lehet összeszorozni a két mátrixot. A párokról nekünk kell gondoskodnunk, és csakis olyan mátrixokat kíséreljünk meg összeszorozni, amelyeknél a baloldali mátrix oszlopszáma megegyezik a jobboldali mátrix sorainak a számával.

Petőfi is végzett mátrixszorzásokat

A legújabb elméletek szerint, már több évszázaddal ezelőtt is végeztek az emberek mátrixszorzásokat, így Petőfi is mikor szükségét érezte el-elvégzett egy-egy mátrixszorzást. Sőt a tanult emberek legnagyobb része szinte nap, mint nap mátrixokat szorozott, szoroz és fog összeszorozni. Sőt az általános iskola első osztályában irgalmatlan sok időt töltenek a gyerekek azzal, hogy a legelemibb mátrixszorzásokat ne csak elsajátítsák, hanem olyan alaposan tanulják meg, hogy ha álmukból ébresztik fel őket, akkor is tudják.

Bizony a szorzótábla nem más, mint egy soros és oszlopos mátrixok szorzása, melynek következtében szintén egy soros és egy oszlopos mátrixot kapunk. Csak elhagyjuk a zárójeleket. Ez van. Az összes tervezésünkbe, kalkulációnkba beszivárognak a mátrixok, mindig számolni kell velük. Hogy mit lehet tenni? Megtudhatjuk a következő fejezetből.

Amit a Kiválasztottról tudni kell

Hogy ki lehet Kiválasztott, kinek a burka nyílik fel, hogy kinek mondja azt a vajákos, amit éppen mondania kell, egyáltalán ki a vajákos?

Azt nehéz megmondani, de volt a múltban és van a jelenben egy-két nevezetes kiválasztott. Jacobi (Carl Gustav Jakob, 1804-1851) német, Cayley (Arthur, 1821-1895) és Sylvester (James Joseph 1814-1897) angol matematikusok a mátrixok determinánsának elméletén dolgoztak. És hogy a jövőben ki lesz a Kiválasztott, talán-e cikk olvasója, annak eldöntése megér egy próbát. A Flash-animációban mátrixszorzások vannak kijelölve. Kedves próbatevő állapítsd meg, hogy hányszor hányas mátrixokat eredményeznek a szorzások! (Tudjuk, hogy a "hányszor" a sorok számát, a "hányas" az oszlopok számát helyettesíti.)

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek