A valószínűségszámítás és egyéb matematikai tudományágak kapcsolata II.
Tarcsay Tamás
2007/11/02 16:30
916 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Folytassuk sorozatunkat! Újabb példák következnek a valószínűségszámítás és más matematika tudományágak kapcsolatára.

A valós számsorok fogalmának előkészítése is történhet valószínűségszámítási problémákon keresztül. Nézzünk erre egy példát, ami a hanyag pénztárosról szól!

Korábban már szerepelt a rovatunkban ez a téma, akkor lusta pénztárosnak neveztük, de azóta egy diák azt mondta, hogy erre a pénztárosra jobban illik a hanyag jelző, mint a lusta..Korábban már szerepelt a rovatunkban ez a téma, akkor lusta pénztárosnak neveztük, de azóta egy diák azt mondta, hogy erre a pénztárosra jobban illik a hanyag jelző, mint a lusta..

Egy moziban a jegyek egységesen 500 forintba kerülnek. A hanyag pénztáros nem törődik azzal, hogy felkészüljön a munkájára, így váltópénz nélkül kezdi a napot. Hosszú sor áll az ablaka előtt, minden vásárló egy jegyet akar venni. Mindegyiküknél vagy egy darab ötszázas, vagy egy darab ezres van. Várhatóan hány mozilátogatót tud majd kiszolgálni a pénztáros?

Az alábbi animációval szemléltethetjük a problémát:

A ll valószínűségi változó jelölje a kiszolgált mozilátogatók számát! Ennek a várhatóértékét keressük. Ehhez először a l eloszlását kell megadni. valószínűségi változó jelölje a kiszolgált mozilátogatók számát! Ennek a várhatóértékét keressük. Ehhez először a l eloszlását kell megadni.

Kombinatorikai meggondolásokkal és a klasszikus valószínűségi mezőről tanultak felhasználásával adódik, hogy

PP(l(l = 2k +1) = 0 és P(l= 2k) = = 2k +1) = 0 és P(l= 2k) =

  bármely k természetes szám esetében.   bármely k természetes szám esetében.

Tekintettel arra, hogy az eloszlás tagjai összegének 1-nek kell lenni, Tekintettel arra, hogy az eloszlás tagjai összegének 1-nek kell lenni,

Ezzel indokolhatjuk, hogy értelmezni kell végtelen összeget (sort), mégpedig oly módon, hogy a fenti egyenlőség teljesüljön.Ezzel indokolhatjuk, hogy értelmezni kell végtelen összeget (sort), mégpedig oly módon, hogy a fenti egyenlőség teljesüljön.

Ez a probléma még további érdekességet is rejt magában. A keresett várhatóértéket a Ez a probléma még további érdekességet is rejt magában. A keresett várhatóértéket a

sor adná, de ez divergens, így a l olyan valószínűségi változó, aminek nincs várhatóértéke.sor adná, de ez divergens, így a l olyan valószínűségi változó, aminek nincs várhatóértéke.

A fordított irányú tárgyalásmód is elképzelhető, ezt szemlélteti a következő probléma:A fordított irányú tárgyalásmód is elképzelhető, ezt szemlélteti a következő probléma:

Adjuk meg az alábbi sor összegétAdjuk meg az alábbi sor összegét

ahol F(n - 1) a Fibonacci sorozat (n - 1). tagját jelöli!ahol F(n - 1) a Fibonacci sorozat (n - 1). tagját jelöli!

Tekintsük a következő valószínűségszámítási problémát! Tekintsük a következő valószínűségszámítási problémát!

Egy pénzdarabot dobálunk addig, amíg kétszer egymás után nem dobunk fejet. Az e valószínűségi változó megadja azt a számot, ahányadik dobásra a két egymás utáni fej dobása először bekövetkezik.Egy pénzdarabot dobálunk addig, amíg kétszer egymás után nem dobunk fejet. Az e valószínűségi változó megadja azt a számot, ahányadik dobásra a két egymás utáni fej dobása először bekövetkezik.

Megmutatható, hogy az e   eloszlásaMegmutatható, hogy az e   eloszlása

így a vizsgált sor összege 1.így a vizsgált sor összege 1.

Megjegyezzük, hogy ez a probléma általánosítható oly módon, hogy egy pénzdarabot dobálunk addig, amíg k-szor egymás után nem dobunk fejet. Az így kapott valószínűségi változók várhatóértékének keresése is sok tanulságos munkát adhat.Megjegyezzük, hogy ez a probléma általánosítható oly módon, hogy egy pénzdarabot dobálunk addig, amíg k-szor egymás után nem dobunk fejet. Az így kapott valószínűségi változók várhatóértékének keresése is sok tanulságos munkát adhat.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek