A végtelen az iskolai matematikában
Tarcsay Tamás
2004/03/18 15:37
765 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A Nemzeti Alaptantervben nem szerepel követelményként sem a végtelen kicsi, sem a végtelen nagy, sem a végtelen sok. Eszerint a végtelennel kapcsolatos problémákról nem kell, sőt nem szabad beszélni?

Egyáltalán nem!

A végtelen nehéz fogalom, pontos definíciói a XX. századra alakultak ki. Az ókori görög matematika egyetlen nagy tévedése a végtelennel függ össze: axiómaként, méghozzá magától értetődő, megkérdőjelezhetetlen axiómaként mondták ki, hogy a rész kisebb, mint az egész.

Ezt azért fontos külön kihangsúlyozni, mert a görögök nem matematikai, hanem lélektani szempontból megkülönböztettek kétféle axiómát: az egyik csoport volt azoké, amelyek a józan megfontolásból következnek, amit nem is lehet, nem is érdemes megvitatni, mint például az, hogy ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, akkor a megmaradók is egyenlők lesznek. A másik csoportba az adott matematikai elmélet felépítéséhez szükséges alapállítások tartoztak, amelyeknek elfogadását kérték az olvasótól, a hallgatóságtól, amelyekre a további következtetések, tételek épülnek.

A rész kisebb, mint az egész állítást az előbbi csoportba sorolták, így tette ezt Euklidesz is. A híres ókori paradoxonok nagy része ebből a tévedésből származik. A végtelen halmazoknak - ilyenek a jól ismert számhalmazok, mint pl. a természetes számok, a páratlan számok vagy az egyenes pontjainak összessége - az a szemléletesen legkönnyebben látható közös tulajdonságuk, hogy magának a halmaznak és sok valódi részhalmazának ugyanolyan tulajdonságai vannak, ugyanaz a számossága.
Természetes, hogy a matematikában járatlanoktól nem várható el a fogalom valódi megértése, korrekt alkalmazása, de az is természetes, hogy a matematikatanulás során lépten-nyomon beleütközünk a végtelenbe.

Kezdődik a számolással

Jellegzetes kérdés gyerekektől, így együtt, egy szuszra elmondva: Melyik a legnagyobb szám? És mi következik utána?

Folytatódik a tizedes törtekkel

A 0,3333 ... pontosan vagy körülbelül egyenlő egy harmaddal?

Jön a kerekítés

Melyik a legkisebb szám, amit 5-re kerekítünk? És melyik a legnagyobb?

Az 1/x függvény ábrázolásakor már egészen mélyen haladunk a problémakörben.
A 0-val való osztás tilalma algebrai úton jól indokolható, látszólag elkerülhetjük a végtelen kicsi és a végtelen nagy, az egyre kisebb és az egyre nagyobb problémáját, de ez a tudás felszínes marad.

Próbáljuk ki! Kérdezzük meg a tanulóktól: Mennyi lesz az összege a következő kifejezésnek, 5/7 +3/0+4/14?

A leggyakoribb válasz az 1. A 3/0-nak nincs értelme, olyan, mintha ott sem lenne, akár le is takarhatjuk, a többi műveletet már gond nélkül el lehet végezni. Nehéz elfogadhatóvá tenni, hogyha a kifejezés egy része értelmetlen, akkor az egész azzá válik. A gyerekek nem látják, hogy a 3/0 "közelében" lévő értelmes kifejezések nem túl kicsik, hanem túl nagyok.

Milyen megoldást látok?

Az ilyen és hasonló kérdések felmerülése esetében nem érdemes elkerülni a problémát. Jobb felhasználni beszélgetésekre. Sőt! Érdemes kiprovokálni hasonló helyzeteket.

A matematikában végtelenül sok szép probléma van. Ha csak olyanokat mutatunk a tanítványainknak, amelyekben nem találkozunk közvetlenül a végtelen kérdésével, akkor lehetséges, hogy ők sohasem tesznek föl erre vonatkozó kérdéseket. De az nem jó, hogy úgy jutnak el az érettségiig, hogy nem is tudják, a matematika nagy része éppen a végtelen fogalmára épül.

Egyszerű dolgokra gondolok. Beszéljük meg, hogy minden ember életében van egy legnagyobb szám, azok között, amit valaha is leírt. A számítógépeken van legnagyobb szám. Ezt a zsebszámológépek esetében nem is olyan nehéz megkeresni. Ugyanígy van legkisebb pozitív szám is. Ezt is meg lehet találni, bár egy kicsit nehezebb. A nem helyiértékes számírásokban is van legnagyobb szám, amit az adott jelkészlettel le lehet írni. Sok érv szólna a mellett, hogy olyan matematikát használjunk, ahol véges sok szám van. De még több érv indokolja, hogy végtelen számhalmazokra gondoljuk. Így minden számnak két szomszédja van, bármely két szám összegét megtaláljuk a számok között stb.

Később, már a középiskolában előkerülhetnek a végtelen szállodák. Nagyon fontos megemlíteni, hogy végtelen szálloda természetesen nincs, de ez a probléma látványosan szemlélteti a végtelen számosságú számhalmazok egyesítésekor keletkező szituációkat.

A számsor végtelensége olyan absztrakció, ami nagy lépést jelent a mindennapi tapasztalatokhoz képest, éppen ezért sokszor nehéz elfogadni, de a matematika felépítéséhez nagyon fontos.

Az íráshoz kapcsolódó feladatok

Esszé-verseny

Találkozások a végtelennel - Nagy számok, nagyon nagy számok, végtelenül nagy számok

Beküldhető egy összefüggő dolgozat a címben jelzett téma szabadon választott részterületéről.

Kérdések

  1. Milyen szempontból jelentene problámát és milyenből nem, ha azt mondanánk, hogy van legnagyobb természetes szám és az éppen 10-nek az 1000. hatványa ?
  2. Melyek voltak a római, az egyiptomi és a görög számírással leírható legnagyobb számok? Milyen forrásokból lehet erről információt szerezni? Egyértelműek az adatok? Egy adott márkájú zsebszámológépen melyik a megjeleníthető legnagyobb szám? Egyértelműen meghatározott ez a szám?
  3. Legyen az A halmaz a pozitív páros számok halmaza, a B halmaz pedig a négynél nagyobb páros számok halmaza. Adj meg három olyan tulajdonságot, amiben megegyezik a két halmaz és három olyant, amiben különbözik!

A 2-5 oldal javasolt terjedelmű dolgozatban választ adhattok a fenti kérdésekre, de ha valaki csak néhány mondatos válaszokat akar küldeni a kérdések valamelyikére, azt is megteheti.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek