A végtelen az iskolai matematikában
Tarcsay Tamás
2004/03/18 15:37
730 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A Nemzeti Alaptantervben nem szerepel követelményként sem a végtelen kicsi, sem a végtelen nagy, sem a végtelen sok. Eszerint a végtelennel kapcsolatos problémákról nem kell, sőt nem szabad beszélni?

Egyáltalán nem!

A végtelen nehéz fogalom, pontos definíciói a XX. századra alakultak ki. Az ókori görög matematika egyetlen nagy tévedése a végtelennel függ össze: axiómaként, méghozzá magától értetődő, megkérdőjelezhetetlen axiómaként mondták ki, hogy a rész kisebb, mint az egész.

Ezt azért fontos külön kihangsúlyozni, mert a görögök nem matematikai, hanem lélektani szempontból megkülönböztettek kétféle axiómát: az egyik csoport volt azoké, amelyek a józan megfontolásból következnek, amit nem is lehet, nem is érdemes megvitatni, mint például az, hogy ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, akkor a megmaradók is egyenlők lesznek. A másik csoportba az adott matematikai elmélet felépítéséhez szükséges alapállítások tartoztak, amelyeknek elfogadását kérték az olvasótól, a hallgatóságtól, amelyekre a további következtetések, tételek épülnek.

A rész kisebb, mint az egész állítást az előbbi csoportba sorolták, így tette ezt Euklidesz is. A híres ókori paradoxonok nagy része ebből a tévedésből származik. A végtelen halmazoknak - ilyenek a jól ismert számhalmazok, mint pl. a természetes számok, a páratlan számok vagy az egyenes pontjainak összessége - az a szemléletesen legkönnyebben látható közös tulajdonságuk, hogy magának a halmaznak és sok valódi részhalmazának ugyanolyan tulajdonságai vannak, ugyanaz a számossága.
Természetes, hogy a matematikában járatlanoktól nem várható el a fogalom valódi megértése, korrekt alkalmazása, de az is természetes, hogy a matematikatanulás során lépten-nyomon beleütközünk a végtelenbe.

Kezdődik a számolással

Jellegzetes kérdés gyerekektől, így együtt, egy szuszra elmondva: Melyik a legnagyobb szám? És mi következik utána?

Folytatódik a tizedes törtekkel

A 0,3333 ... pontosan vagy körülbelül egyenlő egy harmaddal?

Jön a kerekítés

Melyik a legkisebb szám, amit 5-re kerekítünk? És melyik a legnagyobb?

Az 1/x függvény ábrázolásakor már egészen mélyen haladunk a problémakörben.
A 0-val való osztás tilalma algebrai úton jól indokolható, látszólag elkerülhetjük a végtelen kicsi és a végtelen nagy, az egyre kisebb és az egyre nagyobb problémáját, de ez a tudás felszínes marad.

Próbáljuk ki! Kérdezzük meg a tanulóktól: Mennyi lesz az összege a következő kifejezésnek, 5/7 +3/0+4/14?

A leggyakoribb válasz az 1. A 3/0-nak nincs értelme, olyan, mintha ott sem lenne, akár le is takarhatjuk, a többi műveletet már gond nélkül el lehet végezni. Nehéz elfogadhatóvá tenni, hogyha a kifejezés egy része értelmetlen, akkor az egész azzá válik. A gyerekek nem látják, hogy a 3/0 "közelében" lévő értelmes kifejezések nem túl kicsik, hanem túl nagyok.

Milyen megoldást látok?

Az ilyen és hasonló kérdések felmerülése esetében nem érdemes elkerülni a problémát. Jobb felhasználni beszélgetésekre. Sőt! Érdemes kiprovokálni hasonló helyzeteket.

A matematikában végtelenül sok szép probléma van. Ha csak olyanokat mutatunk a tanítványainknak, amelyekben nem találkozunk közvetlenül a végtelen kérdésével, akkor lehetséges, hogy ők sohasem tesznek föl erre vonatkozó kérdéseket. De az nem jó, hogy úgy jutnak el az érettségiig, hogy nem is tudják, a matematika nagy része éppen a végtelen fogalmára épül.

Egyszerű dolgokra gondolok. Beszéljük meg, hogy minden ember életében van egy legnagyobb szám, azok között, amit valaha is leírt. A számítógépeken van legnagyobb szám. Ezt a zsebszámológépek esetében nem is olyan nehéz megkeresni. Ugyanígy van legkisebb pozitív szám is. Ezt is meg lehet találni, bár egy kicsit nehezebb. A nem helyiértékes számírásokban is van legnagyobb szám, amit az adott jelkészlettel le lehet írni. Sok érv szólna a mellett, hogy olyan matematikát használjunk, ahol véges sok szám van. De még több érv indokolja, hogy végtelen számhalmazokra gondoljuk. Így minden számnak két szomszédja van, bármely két szám összegét megtaláljuk a számok között stb.

Később, már a középiskolában előkerülhetnek a végtelen szállodák. Nagyon fontos megemlíteni, hogy végtelen szálloda természetesen nincs, de ez a probléma látványosan szemlélteti a végtelen számosságú számhalmazok egyesítésekor keletkező szituációkat.

A számsor végtelensége olyan absztrakció, ami nagy lépést jelent a mindennapi tapasztalatokhoz képest, éppen ezért sokszor nehéz elfogadni, de a matematika felépítéséhez nagyon fontos.

Az íráshoz kapcsolódó feladatok

Esszé-verseny

Találkozások a végtelennel - Nagy számok, nagyon nagy számok, végtelenül nagy számok

Beküldhető egy összefüggő dolgozat a címben jelzett téma szabadon választott részterületéről.

Kérdések

  1. Milyen szempontból jelentene problámát és milyenből nem, ha azt mondanánk, hogy van legnagyobb természetes szám és az éppen 10-nek az 1000. hatványa ?
  2. Melyek voltak a római, az egyiptomi és a görög számírással leírható legnagyobb számok? Milyen forrásokból lehet erről információt szerezni? Egyértelműek az adatok? Egy adott márkájú zsebszámológépen melyik a megjeleníthető legnagyobb szám? Egyértelműen meghatározott ez a szám?
  3. Legyen az A halmaz a pozitív páros számok halmaza, a B halmaz pedig a négynél nagyobb páros számok halmaza. Adj meg három olyan tulajdonságot, amiben megegyezik a két halmaz és három olyant, amiben különbözik!

A 2-5 oldal javasolt terjedelmű dolgozatban választ adhattok a fenti kérdésekre, de ha valaki csak néhány mondatos válaszokat akar küldeni a kérdések valamelyikére, azt is megteheti.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek