Amikor a függvények segítenek
Tarcsay Tamás
2004/07/16 08:12
1030 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A szerző töredelmesen bevallja, hogy a szellemes cím nem neki jutott az eszébe. Dr. Németh József tanár úr a 2004. évi Rátz László Vándorgyűlésen adta ezt a címet az előadásának. Írásunk ehhez az előadáshoz kapcsolódik.

Az említett előadáson szerepelt a következő egyenlet valós számok halmazán történő megoldása:
Az előadó javasolta az x = 2cos y helyettesítést, ahol y 0 és Pi közötti valós számot jelöl. Ezek után a következő - kedvenc trigonometrikus azonosságaiként aposztrofált - összefüggések többszöri alkalmazására került sor:
Így jutottunk el a következő trigonometrikus egyenlethez:
Ennek a megadott intervallumon vett megoldásából kapjuk, hogy a kiindulási egyenletünk megoldása:

Ez a feladat, és szellemes megoldása juttatott eszünkbe egy olyan problémát, amit korábban már tárgyaltunk rovatunkban.

Vizsgáljuk a következő, rekurzív módon megadott sorozat határértékét:
Természetesen n pozitív egész számot jelöl.
E határérték megsejtésére számítógépes eljárásokat alkalmaztunk korábban, most egy matematikai gondolatmenettel adjuk meg a határértéket.

Először megmutatjuk, hogy igaz a következő, (3)-mal jelölt összefüggés:
Teljes indukciós bizonyítást végzünk.
Ha n=1, akkor
Tegyük fel, hogy n=k - ra igaz az állítás, vizsgáljuk az n=k+1 esetet!
Észrevehetjük, hogy a fenti egyenlőség sornál felhasználtuk az (1) összefüggést, és azt, hogy a vizsgált intervallumban a szereplő szögfüggvények nemnegatívak.

A (3) állítást bebizonyítottuk. Ebből következik, hogy
hiszen az argumnetumban szereplő sorozat határértéke 0, és a cosinus szögfüggvény 0-ban folytonos.

Az olvasóra bízzuk annak vizsgálatát, hogy a sorozat rekurzív definíciójában a 2 helyett más pozitív egész számot írnánk, akkor az így kapott sorozatnak mi lenne a határértéke.

Érdekes lehet annak a sorozatnak a vizsgálata is, ami a következő rekurzív definícióval adódik:

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek