Árki Tamás (SZTE JGYTF): Bolyai Farkas tétele
Tarcsay Tamás
2002/09/17 08:00
1636 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Ebben a dolgozatban lépésről lépésre építjük fel a sokszögek egymásba darabolhatóságának kérdését. E fogalom általános iskolások számára is bevezethető. A továbbiakban erre mutatunk egy lehetséges utat, amit idén egy Domaszéken megrendezett matektáborban végig is jártunk.

Ebben a dolgozatban lépésről lépésre építjük fel a sokszögek egymásba darabolhatóságának kérdését. Ezzel a kérdéssel már Bolyai Farkas (1775-1856) is foglalkozott. A területszámítás alapjainak tisztázása szempontjából jelentősnek bizonyult egy általa bevezetett fogalom. Bolyai két síkidomot végszerűen egyenlőnek nevezett, ha azok véges számú, páronként egybevágó síkidomra oszthatók. E fogalom általános iskolások számára is bevezethető. A továbbiakban erre mutatunk egy lehetséges utat, amit idén egy Domaszéken megrendezett matektáborban végig is jártunk.

Tangram-játék

A Tangram-készlet elemei az alábbi ábrán láthatók. Rakjuk ki ezeket a síkidomokat a Polydron elemeiből! A fenti elemekből próbáljuk kirakni az alábbi ábrán látható alakzatokat átfedés nélkül! Ügyeljünk arra, hogy a Tangram minden elemét fel kell használnunk!
Próbáljunk közös tulajdonságokat keresni az alakzatokban! Vizsgáljuk meg a csúcsok számát, a kerületet, a területet! Könnyen végiggondolható, hogy a síkidomok területe egyenlő, hiszen átfedés nélkül, a készlet minden elemének felhasználásával raktuk ki azokat.
A Tangram játék alapján már kimondhatjuk az átdarabolhatóság fogalmát. Két alakzatot egymásba átdarabolhatónak nevezünk, ha mindkettőt ki lehet rakni ugyanazon véges Puzzle-készlet elemeiből. E szerint a fenti ábrán látható alakzatok közül bármely kettő egymásba átdarabolható. Láttuk, hogy az egymásba átdarabolható sokszögek területe egyenlő. Igaz-e ennek a tételnek a megfordítása? Azaz, ha két sokszög területe megegyezik, akkor szükségképpen átdarabolhatók-e egymásba?

Egyenlő területű sokszögek egymásba darabolhatóságának kérdése

  1. Daraboljunk át egy háromszöget vele egyenlő alapú paralelogrammává!

    Egy lehetséges megoldást a fenti ábrán nyomon követhetünk. Az ABC háromszögben F1 és F2 oldalfelező pontok. Forgassuk el F2 körül az F1F2C háromszöget 180°-kal! A forgatás után paralelogrammát kapunk.
  2. Daraboljunk át egy paralelogrammát vele egyenlő alapú téglalappá!
    "Vágjunk le" egy derékszögű háromszöget az ABCD paralelogramma D csúcsán átmenő magassága mentén, majd toljuk el az ATD háromszöget az AB vektor mentén. Így téglalapot kapunk.
  3. Daraboljunk át egy háromszöget vele egyenlő alapú téglalappá!
    Az a) pont alapján előbb paralelogrammává, majd a kapott paralelogrammát a b) pont alapján téglalappá darabolhatjuk.
    d) Daraboljunk át egy trapézt vele egyenlő területű téglalappá!
    A megoldáshoz használjuk az a) pont gondolatmenetét!
    Keressünk más megoldást is!
  4. Daraboljunk át konvex négyszöget paralelogrammává!
    Gondolhatunk arra, hogy a négyszöget valamelyik átlója mentén két háromszögre bontjuk, majd a háromszögeket a már ismert módon átdaraboljuk paralelogrammává. A két háromszög egy-egy oldala megegyezik (épp a négyszög egyik átlója), ezért a keletkezett két paralelogramma egy-egy oldala is egyenlő. E két paralelogrammát pedig azonos alapú téglalappá daraboljuk, amiket ezután már egymásra helyezhetünk.
    A következő gondolatmenet is az előzőekben már megismert ötleteket használja. A négyszög középvonalai mentén vágjuk azt négy részre, majd egy-egy részt két szemközti oldal felezőpontja körül forgassunk el 180°-kal, az ábrán látható módon.
    Az alsó ábra mutatja, hogy két-két rész "összeragasztása" után azok egy forgatással paralelogrammává állnak össze.
  5. Daraboljunk át konkáv négyszöget téglalappá!
    A négyszöget a konkáv szögnél lévő csúcsból kiinduló átló mentén két, egyenlő alapú háromszögre bontjuk, majd a háromszögeket téglalapokká daraboljuk, végül a két téglalapot "egymásra" helyezzük.
    Az eddigieket összefoglalhatjuk egy tételben.

Tétel

Bármely négyszög átdarabolható téglalappá.

  1. Daraboljunk át két egyenlő területű téglalapot egymásba!
    Helyezzük az egyenlő területű ABCD és AEFG téglalapokat az ábrán látható módon, majd az AE egyenes mentén "vágjuk szét" az ABCD téglalapot! A második ábra mutatja, hogy a keletkező DCQ, illetve DPG háromszögek eltolással átvihetők a PFE, illetve QEB háromszögekbe. Hogyan történhet az átdarabolás, ha Q az AEFG téglalapon kívül található?
    A fenti átdarabolásnak egy speciális következménye, hogy bármely téglalap átdarabolható négyzetté.
  2. Adott két sokszög, melyek területe egyenlő. Daraboljuk át őket egymásba!
    Elegendő megmutatni, hogy bármely sokszög átdarabolható vele egyenlő területű négyzetté. Ennek menete az előzőek alapján könnyen kitalálható, és az alábbi ábrán nyomon követhető.
    Ezzel bebizonyítottuk Bolyai Farkas tételét.
    Tétel

Bármely két, egymással egyenlő területű sokszög egymásba átdarabolható.
A tétellel kapcsolatban több általánosítási irány is felvethető. Meglepő például, hogy ehhez hasonló állítás a térben már nem igaz, azaz két egyenlő térfogatú poliéder nem feltétlenül darabolható át egymásba.

Ajánlott irodalom

Kárteszi Ferenc: Az olló geometriája

Laczkovich Miklós: Sokszögek átdarabolása, Kömal 1990. május

Komjáth Péter: A kör modern négyszögesítése, Magyar Tudomány 90/7.

Pálfy Péter Pál: Mégis négyszögesíthető a kör!?, Természet Világa 122. évf.1.sz.

Letölthető Tangram játék

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek