Azt sejtettük, hogy ...
2007/11/06 08:00
629 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

A matematika történetében voltak olyan sejtések, amelyek bizonyítást nyertek, voltak olyanok, amelyek nem. Ebben az írásban erre mutatunk néhány példát.

1. Az olyan konvex poliédert, amelynek élei, élszögei és lapszögei egyenlők szabályos testnek nevezzük.

Pithagorasz már ismerte a szabályos tetraédert, a kockát és a szabályos dodekaédert. Platon óta nevezik az öt szabályos testet (a tetraédert, a hexaédert, az oktaédert, a dodekaédert és az ikozaédert) Platoni testeknek.
Természetes, hogy a tudósok az évek során szerettek volna újabb szabályos testeket találni, de ez nem sikerült. Felvetődött a kérdés, hogy az 5 Platoni  testen kívül van-e még szabályos test.

A kérdés addig volt kérdés, amíg meg nem született a szabályos testek tétele, ami így szól:
Ötféle szabályos test van. Ezek a következők: tetraéder, hexaéder, oktaéder, dodekaéder és ikozaéder. A bizonyításhoz szükség volt egy tétel megszületésére, amit a megalkotójáról Euler-féle poliéder tételnek neveznek.

2. Fermat-számoknak nevezzük azokat a számokat, melyekre igaz, hogy bármely természetes n-re:

heureka_1

E számok „névadója” Pierre Fermat azt sejtette, hogy ezek a számok mind prímek. Megnézhetjük hogy n = 0, 1, 2, 3, 4 esetben a Fermat számok rendre a következők: 3, 5, 17, 257, 65537, és ezek prímszámok.
Először Euler igazolta, hogy n=5-nek megfelelő Fermat-szám összetett, így Fermat sejtése megcáfolódott.

Jelenleg több, mint 250 Fermat-szám prím faktorizációja ismert, de ezzel együtt a „prímrekordokat” e számok között is kereshetik.

1. A KML légitársaság légjáratokat közlekedtet egy ország városai között úgy, hogy egy városból legfeljebb három városba lehet közvetlenül eljutni. Legfeljebb egy átszállással viszont már az ország bármely városából  bármely városába eljuthatunk. Hány város lehet az országban? (KöMaL Gy. 2784. feladata alapján)

Legyen n az ország városainak száma! a feladat szövege alapján nyilvánvaló, hogy n egynél nagyobb, pozitív egész szám.

Konkrét eseteket vizsgálva bizonyos n-ekre tudunk adni a feltételeknek megfelelő légijáratokat szemléltető gráfot:

heureka_2

De még n=8 esetére is van: megoldás:

heureka_3

Eddig, aki az n=9 esetet vizsgálta, nem talált a feltételeknek megfelelő gráfot. Ezek alapján sejthetjük azt, hogy n=8 a maximális lehetséges város szám. Így van ez? Vagy csak nem volt elég ügyes, aki keresgélt?

Talán érdemes egy kicsit gondolkodni!

Tekintsünk egy A várost! Innen legfeljebb három repülőjárat indulhat. Menjenek ezek B1, B2 és B3 városokba! Ez utóbbi városokból legfeljebb további két – két városba meg közvetlen repülőjárat. Legyenek ezek C1, C2, C3, C4, C5, C6!

Ha ekkor a C városok bármelyikéből indulna közvetlen repülőjárat egy D-vel jelölt, eddig nem említett városba, akkor az a város már nem lenne elérhető legfeljebb egy átszállással A-ból.

Ezek szerint 10-nél több város esetében nem létezhetnek a feltételeknek megfelelő repülőjáratok, marad az n = 9 és az n = 10 eset.

Aki már foglalkozott egy kicsit a gráfelmélet alapjaival, az találkozhatott már a Petersen gráffal:

heureka_4

Kis gondolkodás után rájöhetünk arra, hogy ha ennek a gráfnak a pontjai a városok, élei pedig a közvetlen repülőjáratok, akkor ez megoldást ad az n = 10 esetre.

Az n = 9 eset vizsgálatát olvasóinkra bízzuk.

Forrás:

  1. Szabályos testek
  2. Fermat számok
  3. A Mersenne- és Fermat-számok története
  4. Petersen-gráf

Tarcsay Tamás

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek