Bérczi Tamás: Egyenlőoldalú szabályos háromszögtestek
Tarcsay Tamás
2003/05/05 08:00
2029 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Tapasztalataink szerint nagyon sok, különböző korú gyerek és felnőtt szeret papírt hajtogatni, különböző testek modelljét elkészíteni. Nyugodtan nevezhetjük e modellezés mesterének cikkünk szerzőjét, aki rövid bevezető után néhány alkotását mutatja be nekünk.

Egy kis elméleti bevezető

A bemutatott geometriai testek mindegyikét egymással egybevágó, egyenlőoldalú háromszöglapok borítják. Mivel semmilyen más lap nem fordul elő rajtuk, nevezzük el őket egyenlőoldalú szabályos háromszögtesteknek. Vannak éleik, amelyekben két lap találkozik, de vannak olyan élek is, amelyekben négy háromszöglap fut össze. Ezért nem tekinthetők "normál" poliédereknek.

Első ránézésre látszik, hogy valamennyi test visszavezethető az öt platoni szabályos test vagy az azokból csonkolással származtatható archimédeszi félszabályos testek valamelyikére.

Van köztük ikozaéder-dodekaéder szimmetriájú és van oktaéder-hexaéder szimmetriájú test. Némelyik egész egyszerűen megfeleltethető egy archimédeszi félszabályos testnek. (Az archimédeszi testek a szabályos poliéderek csonkolásával keletkeznek úgy, hogy a szabályos poliéder csúcsait vagy éleit, vagy csúcsait és éleit levágjuk oly módon, hogy a vágás helyén szabályos sokszöglap maradjon, és a keletkező poliéder minden éle egyforma hosszúságú, minden testszöglete egybevágó).
Ha egy ilyen archimédeszi poliéder lapjait kicseréljük egy csupa egybevágó háromszöglapból álló alakzatra, máris kaptunk egy szabályos háromszögtestet.

Hogyan történhet a csere? Egy háromszöglapot kicserélhetünk egy szabályos tetraéderre; egy négyzetlapot kicserélhetünk egy négyzet alapú gúlára; egy szabályos ötszöglapot kicserélhetünk egy ötszög alapú gúlára (vagy annak "negatív", azaz konkáv párjára). Egy hatszöget még többféleképpen cserélhetünk ki: például éleivel összeillesztünk három, egyik oldalukkal egy síkra illeszkedő oktaédert, vagy egy szabályos hatszög minden második középponti háromszögére egy-egy tetraédert ragasztunk.

Azt is megtehetjük, hogy az archimédeszi test bizonyos lapjait nem cseréljük ki, hanem egyszerűen elhagyjuk úgy, hogy lyuk marad a helyén. A többi lapját pedig kicseréljük egy szabályos háromszöglapok borította modulra, pl. négyzetlapot oktaéderre, ötszöglapot ikozaéderre vagy ötszögalapú dipiramisra. Így üreges testet kapunk, amelyet kívül-belül egybevágó szabályos háromszöglapok borítanak. A bemutatott testek többsége ilyen üreges poliéder.

Az sem szükséges, hogy archimedeszi poliéderből induljunk ki: a szabályos test (pl. dodekaéder) csonkolását úgy is végezhetjük, hogy az élek helyén téglalap, a csúcsok helyén (nem szabályos) hatszög maradjon, de a test megőrizze szimmetriasíkjait és szimmetriatengelyeit. A téglalapok ill. nem szabályos hatszögek azután helyettesíthetők egyszerűbb, szabályos háromszögek borította alakzatokkal.

Ily módon szemlélve, valamennyi testnek megfeleltethető egy alap-poliéder, amelynek a szimmetriáit a háromszögtest örökölte. Az alap-poliéder az öt platoni test valamelyike. Ha pl. az alap-poliéder a dodekaéder, akkor a háromszögtest úgy épülhet fel, hogy a dodekaéder lapjait kicseréljük egy ötszög típusú modulra (ami lehet egy ikozaéder, vagy egy ötszögalapú dipiramis), és ezeket az ötszög típusú modulokat összekötjük hatszög típusú modulokkal, vagy téglalap, négyzet típusú modulokkal, esetleg többfélével. A bemutatott testek között mindegyikre van példa.

Egy másik megközelítés

Az egyenlőoldalú háromszögtestek azonban megközelíthetők más módon is. A testek tekinthetők egyfajta térrácsnak is, olyan térszerkezetnek, amelyeket egyforma hosszúságú rudakból állítunk össze úgy, hogy a rudak mindig szabályos háromszögeket fognak közre. A háromszögekből összeszerelt térszerkezetek stabilak, szemben a négyszögeket és egyéb sokszögeket tartalmazó szerkezetekkel.

A testek építése több lépcsőben, egyszerűbb alkatrészektől a bonyolultabb alkatrészek felé haladva történik. Minden bemutatott test néhány, viszonylag egyszerű modulból épül fel. Ilyen modulokat bárki kitalálhat, és próbálkozhat új testeket építeni belőlük. Az alábbiakban felsorolunk néhány egyszerű modult, és mindegyiknek rövid nevet (jelölést) is adunk. Az összetettebb modulok nevének első pozíciója arra utal, hogy milyen lapot helyettesíthet.

A modulok leírásánál a "szabályos" jelzőt mindenütt elhagyjuk, tehát "tetraéder" alatt mindig szabályos tetraédert, "oktaéder" alatt szabályos oktaédert értünk.

  1. Tetraéder modul. Jele: T (tetrahedron).
    Háromszöghelyettesítő, 4 lapú elem.
  2. Oktaéder modul. Jele: O (octahedron).
    Négyzethelyettesítő, 8 lapú elem.
  3. Ikozaéder modul. Jele: I (icosahedron).
    Ötszöghelyettesítő, 20 lapú elem.
  4. Ötszögalapú dipiramis.
    Két ötszögalapú gúla alapjukkal összeragasztva. Előáll úgy is, hogy egy ikozaéder övét eltávolítjuk.
    Leginkább egy lencsére hasonlít, ezért jele: L (lens).
    Ötszöghelyettesítő, 10 lapú elem.
  5. Két, egymással közös lapjuknál összeragasztott oktaéder. Jele: 4O2
    Téglalap helyettesítő, 14 lapú elem.
  6. Három ill még több, láncként összeragasztott oktaéder. Jele: 4O3, 4O4,...
    Téglalap helyettesítő, 20, 26,... (6*n+2) lapú elem.
  7. Három, egyik oldalukkal egy síkra illeszkedő, éleikkel egymáshoz illeszkedő oktaéder. Jele: 6O3
    Szabályos hatszög helyettesítő, 24 lapú elem.
  8. Az előző modul kiegészítve egy tetraéderrel úgy, hogy a három oktaéder közös ürege (amely egy tetraéderes üreg) fölé egy kifelé néző tetraédert illesztünk. Ez a modul előáll úgy is, hogy egy tetraéder három lapjára egy-egy oktaédert illesztünk, a negyedik lapra pedig egy tetraédert.
    Jele: 6O3T2.
    Szabályos hatszög helyettesítő, 24 lapú elem.
  9. Négyoktaéderes elem: egy oktaéder egyik lapjával szomszédos három másik lapra egy-egy oktaédert ragasztunk. Jele: 6O4.
    Hatszöghelyettesítő, 26 lapú elem.
  10. Az előző modul, kiegészítve egy tetraéderrel. A középső oktaéder azon lapjára, amellyel szomszédos lapokra oktaédereket ragasztunk, még egy tetraédert is illesztünk. Jele: 6O4T
    Hatszöghelyettesítő, 28 lapú elem.
  11. Négy tetraéderből álló modul. Egy tetraéder három, egy csúcsba befutó élére egy-egy tetraédert illesztünk élével. Jele: 6T4
    Hatszöghelyettesítő, 16 lapú elem.
  12. Két oktaéderből és három tetraéderből álló modul. Egy tetraéder két szomszédos lapjára egy-egy oktaédert illesztünk, a kimaradó két lapra pedig egy-egy tetraédert. Az oktaédereknek van egy közös testfelező síkja, és ez a modult egy 2:1 oldalarányú téglalapban metszi. Jele: 4O2T3. Téglalap helyettesítő, 20 lapú elem.
  13. Négy oktaéderből és egy tetraéderből álló modul. Egy tetraéder minden lapjára egy-egy oktaédert illesztünk. Jele: 6O4T.Hatszöghelyettesítő, 28 lapú elem.
  14. Dupladodekaéder elem. Egy duplaegységnyi élű dodekaéder minden csúcsát háromszögben csonkoljuk, így az 5-3-5-3 archimedeszi testet kapjuk, majd ennek ötszöglapjait helyettesítjük egy befelé forduló ötszögalapú piramis palástjával. A kapott poliédert "egyenlítőjében" elmetszve szabályos tízszöget kapunk. Jele: DD.
    Tízszöghelyettesítő, 80 lapú elem.

Természetesen további modulok is készíthetők.

A szabályos háromszögtestek nevét a testet felépítő modulokból képezzük. A test megnevezése a következőképpen épül fel:

  • Egy betű jelöli, hogy gömbszerű (S), vagy üreges (H)
  • Kötőjellel elválasztva felsoroljuk, hogy a fenti modulokból melyek futnak össze egy csúcsba. A felsorolást mindig az alap-poliéder lapját helyettesítő modullal kezdjük.

Pl. H-L-O-O, H-L-6O3-6O3, H-L-6O4-6O4, H-O-6O4-6O4, stb.

És most lássunk néhány testet! Mindegyiknek megadjuk a nevét, lapszámát, az alap-poliédert, valamint a felépítését a modulokkal és azok összekapcsolásával.

H-L-4O2-4O2

Alap-poliéder: Dodekaéder.

Üreges test 540 lappal.

Modulok: A dodekaéder lapjait ötszögalapú dipiramisok (lencsék) helyettesítik. Ezek összekötése két, egymással lapjával összeforduló oktaéderből álló modullal történik.

H-L-6O3-6O3

Alap-poliéder: Dodekaéder

Üreges test 600 lappal.

Modulok: A dodekaéder lapjait ötszögalapú dipiramisok helyettesítik. Ezek összekötése olyan hatszögmodulokkal történik, amelyek mindegyike három, lapjával egy síkra illeszkedő, egymáshoz éleivel illeszkedő oktaéderből áll.

H-I-6O4-6O4

Alap-poliéder: Dodekaéder.

Üreges test 760 lappal.

Modulok: A dodekaéder lapjait ikozaéderek helyettesítik. Ezek összekötése olyan hatszögmodulokkal történik, amelyek mindegyike négy oktaéder összeillesztésével keletkezik úgy, hogy egy oktaéder egyik lapjával szomszédos három lapjára egy-egy oktaédert illesztünk.

H-DP-6T4-O

Alap-poliéder: Dodekaéder.

Üreges test 1520 lappal.

Modulok: A 10-6-4 archimedeszi test tízszöglapjait dupladodekaéder modulok helyettesítik. Ezeket páronként oktaéderek kapcsolják egymáshoz az egyenlítőjükben. Az egyenlítők kimaradó éleit pedig olyan hatszögmodulok kötik össze, amelyek mindegyike négy tetraéder összeillesztésével keletkezik úgy, hogy egy tetraéder három, egy csúcsba futó élére egy-egy tetraédert illesztünk.

H-I-O-O

Alap-poliéder: Dodekaéder.

Üreges test 480 lappal.

Modulok: A dodekaéder lapjait ikozaéderek helyettesítik. Ezek páronként oktaéderekkel vannak összekötve.

H-L-6O4-6O4

Alap-poliéder: Dodekaéder.

Üreges test 640 lappal.

Modulok: A dodekaéder lapjait ötszögalapú dipiramisok helyettesítik. Ezek összekötése olyan hatszögmodulokkal történik, amelyek mindegyike négy oktaéder összeillesztésével keletkezik úgy, hogy egy oktaéder egyik lapjával szomszédos három lapjára egy-egy oktaédert illesztünk.

H-L-6T4-6T4

Alap-poliéder: Dodekaéder.

Üreges test 440 lappal.

Modulok: A dodekaéder lapjait ötszögalapú dipiramisok helyettesítik. Ezek összekötése olyan hatszögmodulokkal történik, amelyek mindegyike négy tetraéder összeillesztésével keletkezik úgy, hogy egy tetraéder egy csúcsba befutó három élére egy-egy tetraédert illesztünk.

H-L-6O4T-6O4T

Alap-poliéder: Dodekaéder.

Üreges test 680 lappal.

Modulok: A dodekaéder lapjait ötszögalapú dipiramisok helyettesítik. Ezek összekötése olyan hatszögmodulokkal történik, amelyek mindegyike négy oktaéder és egy tetraéder összeillesztésével keletkezik úgy, hogy egy oktaéder egyik lapjára egy tetraédert, a vele szomszédos három lapjára pedig egy-egy oktaédert illesztünk.

S-L-I-I

Alap-poliéder: Dodekaéder.

Üreges test 440 lappal.

Modulok: A dodekaéder lapjait ötszögalapú piramisok helyettesítik. Ezek összekötése ikozaéderekkel történik. A szomszédos ikozaéderek közös élben érintkeznek.

S-L-O2-M

Alap-poliéder: Dodekaéder.

Üreges test 360 lappal.

Modulok: A dodekaéder lapjait ötszögalapú piramisok helyettesítik. Ezek összekötése dupla oktaéderekkel és hatszöget helyettesítő "Mercedesz-csillag" modulokkal történik.

H-O-6O7-6O7

Alap-poliéder: Hexaéder.

Üreges test 400 lappal.

Modulok: A kocka lapjait oktaéderek helyettesítik. Ezek összekötése olyan hatszögmodulokkal történik, amelyek mindegyike hét oktaéder összeillesztésével keletkezik úgy, hogy egy oktaéder egyik lapjával szomszédos három lapra egy-egy dupla oktaédert (lapjukkal összeragasztott oktaédert) illesztünk

H-O-6O4-6O4

Alap-poliéder: Hexaéder.

Üreges test 232 lappal.

Modulok: A kocka lapjait oktaéderek helyettesítik. Ezek összekötése olyan hatszögmodulokkal történik, amelyek mindegyike négy oktaéder összeillesztésével keletkezik úgy, hogy egy oktaéder egyik lapjával szomszédos három lapra egy-egy oktaédert illesztünk.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek