Dr. Katz Sándor: Ha több az ismeretlen, mint az egyenlet I.
Tarcsay Tamás
2003/01/20 17:05
1216 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
E cikk szerzője a bonyhádi Petőfi Sándor Evangélikus Gimnázium Ericsson díjas, szakmai körökben elismert matematikatanára. Többismeretlenes egyenletrendszerek szellemes megoldásait ismerhetjük meg a cikkéből.

Gyakori, hogy egy feladatban úgy tűnik, hogy kevés az adat a megoldáshoz.
Ha az ismeretlen mennyiségekből több van, mint ahány egyenletet a feltételekből fel tudunk írni, akkor az ismeretlenek értékeit általában nem is tudjuk meghatározni. De ha nem minden ismeretlen meghatározása a feladat, hanem csak egy mennyiség értéke a kérdés, akkor az adatok megfelelő csoportosításával az adott egyetlen kérdésre sokszor megtalálható a válasz. Ilyen feladatokra mutatunk néhány példá
t.

1.

András egy hamburgerért, két üdítőért és egy palacsintáért 600 Ft-ot fizetett. Béla viszont két hamburgerért, három üdítőért és három palacsintáért 1350 Ft-ot adott. Mennyibe került Csabának két hamburger, öt üdítő és egy palacsinta?

Ha egy hamburger, üdítő és palacsinta ára x, y és z, akkor:

x +2y+ z = 600
2x + 3y + 3z = 1350

A két feltételből a három ismeretlen, x, y és z értékeit nem tudjuk meghatározni. Pl. lehet x= 240, y =70 és z =220, de lehet x= 180, y=90 és z =240 is, sőt ha nem ragaszkodunk pozitív egész számokhoz, akkor végtelen sok megfelelő x, y, z számhármas van. De érdekes módon mindegyikből ugyanazt az értéket kapjuk 2x+5y+z értékére. Ez a kifejezés nem független az egyenletek bal oldalán állóktól, azoknak lineáris kombinációja.

Az egyenleteket úgy kell alakítanunk, hogy a bal oldalakból 2x +5y + z, vagy többszöröse jöjjön ki. Szorozzuk az első egyenletet 4-gyel és vonjuk ki belőle a másodikat, ekkor

2x +5y + z = 1050.

Tehát Csabának két hamburger, öt üdítő és egy palacsinta 1050 forintba kerül.


Megjegyzés:

Nem kell feltétlenül "isteni szikra" alapján kitalálni, hogy mit tegyünk a bal oldalakkal,
(x + 2y +z)-vel és (2x + 3y + 3z)-vel, hogy a harmadik kifejezés (2x +5y + z) kijöjjön. Ha az elsőt a-val, a másodikat b-vel szorzom és összeadom akkor x és y együtthatóira a következő egyenletrendszert kapjuk:

a+ 2b = 2
2a + 3b = 5

Ebből a = 4 és b = -1 értékeket kapjuk, és mivel a harmadik kifejezés az első kettő lienáris kombinációja, ezért ezek z-re is a megfelelő értéket adják. (11-edikeseknek javasoljuk, hogy keressenek koordináta-geometriai magyarázatot a fentiekre.)

Nézzünk még egy hasonló feladatot, most már kevesebb indoklással:

2.

Három osztályba összesen 79 gyerek jár. Szombaton közülük 61-en kiránduláson voltak. Az A osztály 2/3-a, a B osztály 4/5-e, a C osztály 5/6-a vett részt. Vasárnap moziba mentek, de csak az B osztály 2/5 része és a C osztály fele. Hányan voltak moziban?

Az a kérdés mennyi 2/5 B + 1/2 C ? Ha a második egyenlet 3-szorosából kivonjuk az első 2-szeresét, akkor 2/5 B + 1/2 C =25-öt kapunk. Tehát 25-en voltak moziban.

Geometriai feladatoknál is előfordul, hogy az ábrán szereplő összes adatot nem tudjuk meghatározni, de a kérdezett mennyiséget kiszámolhatjuk.

3.

Az ábrán látható zászló területe 8000 négyzetcentiméter, a vízszintes csíké négyzetcentiméter, a függőleges csíké 2000 négyzetcentiméter. Mekkora a kereszt területe?

Az ábra jelöléseivel

  • ab = 8000
  • ad = 3200
  • bc = 2000

A kereszt területe ad +bc - cd.

A három egyenletből a négy ismeretlent nem tudjuk meghatározni, de a keresett területhez nekünk elegendő lenne cd értékét ismerni. Ezt viszont meg tudjuk határozni, ha az utolsó két bal oldal szorzatát elosztom az elsővel: cd = 800.

Ebből a kereszt területe ad +bc -cd = 3200 + 2000 - 800 = 4400 négyzetcentiméter.

4.

Az ABC háromszög AB, BC, CA oldalán úgy vettük fel a D, E, F pontokat, hogy DE párhuzamos AC-vel, FE pedig AB-vel. Az ECF háromszög területe t1 (=8) az EBD háromszögé t2 (=18). Fejezzük ki t1-gyel és t2-vel az ADEF paralelogramma t területét!
Legyen az ADEF paralelogramma területe t, EF=x, DB=y! Az EFC háromszög EF és a BDE háromszög BD oldalához tartozó magasságok legyenek m illetve n!

Az EFC és BDE háromszögek kétszeres területe:

2t1=mx
2t2=ny

(Ezekből az adatokból m, n, x és y értéke nem határozható meg. Keressünk több lehetséges konkrét értéket is!) De a paralelogramma t területe meghatározható. Először is látható, hogy, n a paralelogrammának is magassága, így t=nx.

Az EFC és BDE háromszögek hasonlóak, mert a DE és EF szakaszokat az oldalakkal párhuzamosan húztuk meg. Így

ahonnan my=nx.
A fentiek szerint: 4t1t2 = mxny = mynx, ami a háromszög területének a négyzete, azaz
(=24).

Néhány gyakorló feladat

  1. Kirándulni mentünk gyerekekkel. Én kólát és sört vittem, összesen 12 üveggel. Berci fantát és bort hozott. 15 üveg üdítőnk van! - örvendeztek a gyerekek. Azért van 10 üveg szeszes italunk is - állapította meg Berci. Hány üveg italt hozott Berci?
  2. A nyáron egy kis faluban volt az osztály kirándulni. Az egyetlen bolt árukészlete minden reggel ugyanannyi volt. Mi voltunk az első vásárlók és a kiflik felét, a zsemlék negyedét, a tej egy ötödét elvittük, és ezért 1800 Ft-ot fizettünk. Másnap a kifliknek és a zsemléknek is a harmadát, a tejnek negyedét vittük el és most 1500 Ft-ot fizettünk. Harmadnap megint másként rendeltek az osztálytársak, és most a kiflik hatodát, a zsemlék öt tizenketted részét, a tejnek három tized részét vittük el. Mennyit fizettünk a harmadik napon?
  3. Egy trapézt átlóival négy háromszögre bontottunk. Az alapokon nyugvó két háromszög területe 4 és 6 egység. Mekkora a trapéz területe ?

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek