Dr. Szilassi Lajos: Hány éves a kapitány?
Tarcsay Tamás
2003/02/17 08:00
4388 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Egy-egy szöveges feladat megoldásakor könnyen zavarba jönnek még azok a feladatmegoldók is, akik egyébként "jók matematikából", ami többnyire azt jelenti, hogy kellő biztonsággal oldanak meg egyenleteket, vagy végeznek egyéb jól algoritmizálható, begyakorolható munkát.

Pólya György

Ennek az lehet az oka, hogy a szöveges feladatok megoldásához sokkal több intuícióra van szükség, nagyobb következetességgel kell feltenni maguknak azokat a kérdéseket, amelyeket Pólya György ajánlott minden feladatmegoldónak és tanárának a figyelmébe.

Nem véletlen, hogy ismételten Pólyára hivatkozom. Szerinte (és szerintem is) a jó tanár - jelöljük nagy T-vel - nem annyira előadóművész, mint inkább kérdező-művész. Mint minden művészet, ez is igényel némi rátermettséget, empátiát, de legalább ugyanannyi felkészültséget, tudatosságot, kitartó munkát.

Egy személyes megjegyzés: én Hajnal Imre Tanár (nagy T-vel) úrtól tanultam a kérdezés művészetét, több mint harmincöt évvel ezelőtt. Nem merném magamat a fenti értelemben vett kérdező-művésznek nevezni, legfeljebb némi rutinnal rendelkező iparosnak.

Megkísérlek rekonstruálni néhány tanárjelölt koromban hallott - ma már esetleg fiktívnek, sőt esetenként idealizáltnak tűnő - dialógust, amelynek a másik szereplője az ugyancsak nagy D -vel írt Diák, aki fogékony, érdeklődő, lelkes, alkalmasint igen ötletes. Bár közel sincs a feladatmegoldásban akkora rutinja, mint T-nek, de azon van, hogy szert tegyen rá.
Próbálja meg a kedves olvasó önállóan megoldani az alábbi - talán nem túl nehéz - feladatokat, majd figyelje meg, hogy a megoldás során a saját magának feltett kérdések - és válaszok - mennyire hasonlítanak az itt bemutatott dialógus kérdéseire és válaszaira, amelyekről persze korántsem állíthatók, hogy a lehető legjobbak. Lehet, hogy egy kérdés "ott és akkor" jó, máskor kevésbé az. Mindenesetre nem árt, ha ott van a tárházunkban.

T - amennyire csak lehet - igyekszik háttérben maradni, úgy irányítja a beszélgetést, hogy D úgy érezze, maga oldotta meg a feladatot. Ez mindkettőjüknek örömet okoz. A közösen végzett munka örömét, az önálló felfedezés örömét. T és D egyenrangúnak tűnő munkatársak, bár a feladatuk más-más, céljuk mindenképpen közös. Kölcsönösen tisztelik egymást, és mindketten nagy tisztelettel viseltetnek a szép, pontosan megfogalmazott, kristálytiszta ötletek iránt.

1. példa

A szilva 80%-a víz, de az aszalt szilvának csak 40%-a víz. Mennyi szilvából lesz 1 kg aszalt szilva?

Elsőként T töri meg a feladat tömörségéből, szokatlanságából adódó csöndet:

- Mi történik a szilvával aszaláskor?
- Víz párolog el belőle.
- Más nem?
- Nem. A szárazanyag ugyanannyi marad.
- Mennyi szárazanyag marad az 1 kg aszalt szilvában?
- 60 dkg.
- Mennyi szárazanyag van 1 kg nyers szilvában?
- 20 dkg, így 3 kg szilvában van ugyanannyi szárazanyag, mint 1 kg aszalt szilvában, tehát a válasz: 3 kg.

2. példa

Egy agár kerget egy nyulat. A nyúlnak kilencven nyúlugrásnyi előnye van. Amíg az agár hetet ugrik, addig a nyúl tizet. Öt nyúlugrás ugyanakkora, mint két agárugrás. Hányat ugrik az agár, amíg utoléri a nyulat?

Ismét T a kezdeményező, miután látja, hogy D erősen töri mind a harminc fejét, de igazából semmi jó ötlete nincs.

- Hányféle távolság-egység van ebben a feladatban?
- A nyúlugrás és az agárugrás.
- Könnyebb lenne a feladat, ha csak egy lenne?
- Igen. A negyedik mondat alapján át is számolhatók egymásba.
- Milyen távolság-egységben lenne célszerű számolnunk?
- Agárugrásban, mivel erre vonatkozik a kérdés.
- Ekkor hogy szólna a feladat?
- A nyúlnak 90*2/5 = 36 agárugrásnyi előnye van. Amíg az agár 7 -et ugrik, addig a nyúl 10*2/5 = 4 agárugrásnyit.
- 7 ugrással hány ugrásnyi hátrányt hoz be az agár?
- 3-at, és mivel 36 ugrásnyi volt a hátránya, ezért 36*3/7-et, azaz 84-et kell ugrania, amíg utoléri a nyulat.

3. példa

4 és 5 óra között mikor fedi egymást az óra kis- és nagymutatója?

Ismét egy tömör feladat, de ezúttal D kezdi a beszélgetést:

- Ez ugyanolyan verseny, mint az előbbi.
- Valóban?
- Igen, a kismutatónak van némi előnye, amit a gyorsabban haladó nagymutató be fog hozni.
- Mennyi ez az előny?
- 20 perc. Ezért most számoljunk mindent percben.
- Honnan számítva 20 perc ez az előny?
- 4 órától. Mondjuk azt, hogy akkor indultak, egyszerre. Ezért ugyanannyi ideig - a találkozásig - számítjuk az útjukat is.
- Egy szokványos "Érj utol, ha tudsz!" versenyen, útról, időről, sebességről van szó. Ez a 20 perc most mi?
- Általában idő, de a mi feladatunkban út is, az az út, amennyivel többet kell megtennie a találkozásig a nagymutatónak, mint a kicsinek.
- Mit tudunk a sebességről?
- A sebességük arányát ismertük, éppúgy, mint az előző feladatban. A kismutató 12-szer halad gyorsabban, mint a nagy.
- Mit mondhatnánk a mutatók útjáról?
- A nagymutató útja is 12-szer akkora, mint a kicsié, hiszen ugyanannyi ideig figyeljük a mozgásukat.
- Mennyi is a két út különbsége?
- 20 perc, amely a nagymutató útjának a 11/12-ed része.
- Így már azt is tudjuk, hogy mekkora utat tesz meg a nagymutató addig, amíg találkozik a kicsivel?
- Igen, 20*12/11 percet. Így a két mutató 4 óra után 240/11 perccel fedi egymást.

4. feladat

A-ból B-be egy személy és egy gyorsvonat közlekedik. A személyvonat sebessége 60, a gyorsé 120 km/óra. A menetrend szerint éppen egyszerre kellene megérkezniük B-be, de most a személyvonatnak az út ¾-énél felére kellett csökkentenie a sebességét, így a gyors B előtt 30 km-rel utolérte. Mekkora az AB távolság?

Újból D kezdi a dialógust:

- Nincs a feladatban semmilyen időre vonatkozó adat.
- Lehet, hogy nem is lesz rá szükségünk.
- Válasszuk az egész utat x-nek, fejezzük ki a két vonat menetidejét, ....
- Talán ne siessük el a dolgot, hátha még a sebességekre sem lesz szükségünk külön-külön.
- Valóban, az előző feladatokban is csak a sebességek arányát ismertük. Az út háromnegyed részéig a gyors kétszer olyan sebességgel haladt, mint a személyvonat.
- Hol volt a személy akkor, amikor a gyors elindult.
- Az út felénél, mivel a menetrend szerint egyszerre kellett volna megérkezniük.
- A gyors indulásától számítva mennyi utat tett még meg a személy a menetrend szerinti sebességével?
- Az egész út 1/4-ed részét, vagyis a hátralévő út felét.
- Hol volt a gyorsvonat, amikor a személy eddig elért?
- Az út felénél, hiszen amíg a személy megtesz 1/4 résznyi utat, addig a gyors 1/2 résznyit tesz meg.
- Itt viszont történt valami.
- Igen. Innen kezdve a személyvonat sebessége felére, a gyors sebességének a negyedére csökkent.
- Meg lehetne ezt másképpen is fogalmazni?
- Igen. Az út háromnegyed részétől a két vonat találkozásáig megtett út négyszeresét tette meg a gyorsvonat az út felétől számítva.
- A személyvonat csökkentett sebességgel megtett útjánál mennyivel többet kellett megtennie a gyorsvonatnak ugyanannyi idő alatt?
- Háromszor akkorát.
- Azt is lehet tudni, hogy ez az egész út hanyadrésze?
- Igen, 1/4 része. Ez azt jelenti, hogy az egész út (1/3)*(1/4) = 1/12 -ed részét tette meg a személyvonat csökkentett sebességgel.
- Valóban. Eszerint mennyi az út B-ig hátralévő része?
- A teljes út 2/12 -ed része, ami 30 km.
- Akkor már kiszámítható a teljes út is?
- Igen, ha a 2/12 -ed része 30 km, akkor a teljes út ennek hatszorosa, azaz 180 km. Ráadásul ezt a feladatot is fejben oldottuk meg.
- Szép megoldás volt.

5. feladat

Lassan halad egy hajó a folyón. A hossza - a parton vele párhuzamosan haladva - az orrától a tatjáig mérve 120, a tatjától az orráig 240 lépésnek tűnik. Valójában hány lépésnyi a hajó?

T egy váratlan, de sokat segítő kérdéssel mozdítja ki gondolatmenetet a teljes tanácstalanság állapotából:

- Mihez képest volt lassú ez a hajó?
- Nyilván ahhoz a gyalogoshoz képest, ki megmérte, hogy hány lépés. A tatjától az orráig csak akkor tudta megmérni, ha gyorsabban lépkedett, mint ahogy a hajó haladt.
- Valóban. Van még a feladatban ki nem mondott, de hallgatólagosan feltételezett körülmény?
- Igen. A gyalogosnak a parton egyenletes, és oda-vissza azonos sebességgel kell lépkednie, különben szépen elúszhat mellette a hajó, vagy legalábbis használhatatlan a két adat.
- Mennyi a két mérés átlaga?
- 180 lépés.
- Vajon ennél több, vagy kevesebb a hajó valódi hossza?
- Az is lehet, hogy éppen annyi.
- Képzeljük el, hogy a gyalogos sokkal lassabban lépked. Szembe mérve mondjuk 10 lépésnyinek találja a hajót, vele egy irányban haladva viszont alig tud vele lépést tartani, ezért 1000 lépésnyi idő alatt jut el a tatjától az orráig.
- Valóban. Biztosak lehetünk abban, hogy a hajó valódi hossza kevesebb, mint 180 lépés. A hajó több utat tesz meg azalatt, amíg a tatjától az orráig mérjük, mint ha szembe haladunk vele.
- Térjünk vissza az eredeti adatainkhoz. Vajon mire lenne egyszerűbb válaszolni? Arra a kérdésre, hogy "mennyivel többet", vagy arra, hogy "hányszor többet"?
- Arra, hogy "hányszor többet". Kétszer.
- Miért?
- Mert a gyalogos számára a 240 lépés éppen kétszer annyi ideig tart, mint a 120.
- Ha ismernénk a hajó valódi hosszát, hogyan tudnánk kiszámolni a mérés alatt megtett útját, ha pl. az orrától a tatjáig mérjük?
- A hajó tényleges hosszából le kell vonni a mért távolságot, azaz 120 lépésnyit, mivel szembe haladt egymással a hajó és a gyalogos.
- Ha viszont a tatjától az orráig mérjük?
- A mért 240 lépésből kell levonni a hajó valódi hosszát, mivel ekkor egy irányba haladtak.

Itt T úgy érezte, nem kell többet megszólalnia. D hamarosan folytatta is a gondolatmenetet:

- Legyen a hajó hossza x . Ekkor 2(x- 20) = 240 - x. Ebből pedig x könnyen kiszámolható.
- Nos?
- A hajó hossza 160 lépésnyi. Már csak azt nem tudjuk, hogy hány éves a kapitány.
- A következő feladatból ez is kiderül.

6. feladat

A hajó és a kapitány együtt hetven éves. Hány éves a kapitány, ha a hajó most kétszer olyan idős, mint a kapitány volt akkor, amikor a hajó annyi idős volt, mint most a kapitány?

A feladatról először D fejti ki az eléggé lesújtó véleményét:

- Kellemetlen feladat. A második mondatot nem is értem.
- Próbáljuk részekre bontani.
- Legfeljebb a kérdést tudnánk leválasztani róla.
- Hány időpontról van szó a feladatban?
- Kettőről. Az egyik a "most" , a másik egy régebbi: "akkor amikor".
- Mondjuk, hogy "hajdan". Itt a "hajdan" szó egy korábbi, most még nem ismert, de konkrét időpontot jelent. Ezzel sem tudjuk több mondattá alakítani a feladatot?
- De igen.
A hajó most kétszer olyan idős, mint a kapitány volt hajdan.
Hajdan a hajó éppen annyi idős volt, mint most a kapitány.
- Végül is hány életkor szerepel a feladatban?
- Négy: a hajó és a kaptány mostani, valamint a "hajdani" életkora.
- Milyen kapcsolat van köztük?
- Legyen a hajó mostani életkora x, ezzel kifejezhető az összes többi életkor.
- Könnyebben át tudnánk tekinteni a feladatot, ha táblázatba foglalnánk az életkorokat?

- Igen. Az a baj, hogy a táblázat készítésekor minden feltételt kihasználtunk.
- Valóban?
- Azt lehet-e tudni, hogy a hajó, vagy a kapitány az idősebb?
- Biztosan a hajó, mivel hajdan volt annyi idős, mint most a kapitány.
- Hajdan is így volt?
- Erre gondolnunk kellett volna. Az idő múlásával nem változik az életkorok közötti különbség. Ebből egy egyenlet írható fel: (70 - x) - x = x - (70 - x). Ugyanezt az egyenletet kapnánk akkor is, ha azt használnánk ki, hogy a hajó és a kapitány életében nyilvánvalóan ugyanannyi év telt el a hajdani időponttól máig.
- Nos, hány éves a kapitány?
- Harminc. A hajó pedig negyven. Hajdan - tíz évvel ezelőtt - amikor a kapitány húsz éves volt, akkor a hajó harminc éves volt: annyi, mint most a kapitány.

Pillanatnyi csönd. Ezalatt mind T mind D arra gondol, hogy de szép dolog a matematika. Csak ezt nem mondani kell, hanem érezni.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek