Egy árnyék és egy gondolat - Mérjük meg a Föld sugarát!
Főző Attila László
2007/11/27 00:09
3253 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Ha a kezedbe adnak egy gömböt (mondjuk egy biliárdgolyót), és azt tűzik ki feladatul, hogy mérd meg a golyó sugarát, ezt sem egyszerű megmérni. A címben kitűzött mérés kivitelezése sem könnyű, de sokak meglepetésére nem is nehéz, nem kell hozzá sem felsőbb matematika, sem nagyon speciális műszerek.
Eratoszthenész

Ha már a Föld sugaráról beszélünk, akkor először tisztáznunk kell, milyen alakú a Föld? Mindenki számára elfogadható az a közelítés, ha a Földet gömb alakúnak vesszük. Vajon teljesen pontos ez a feltevés? Ma már tudjuk, hogy nem, hiszen a Föld a sarkoknál lapult, azaz inkább forgási ellipszoidhoz hasonlítható. Ez az alak jó közelítéssel gömbnek vehető.

Eratosztenész egy nagyon egyszerű mérési elvet talált ki a Föld sugarának megmérésére. A nagyon egyszerű helyett akár azt is mondhatnánk, hogy zseniális ötlet, hiszen kora (Kr. e. VI. század) kezdetleges mérési módszereit ötvözte a görögök fejlett matematika tudásával, és az évezredes csillagászati megfigyelésekkel.

Hogyan határozhatunk meg közvetlenül nem mérhető távolságokat?

Legyen az első feladat egy a parttól adott távolságra horgonyzó hajó távolságának meghatározása! A matematikatörténészek kutatásai szerint már Thálesz is ismerte az eljárást, de egy római földmérő feljegyzéseiből tudjuk, hogy meg is tudták valósítani.

A hajó helyét jelöljük H-val. A feladat az AH távolság meghatározása! Mivel a vízbe nem tudunk mérni, ezért az AH helyett a parton a vele egyenlő BK távolságot mérjük meg. A mérés módja a következő: A hajó (H) és a part (A) távolságának meghatározása az A pontból induljunk el az AH-ra merőlegesen, majd néhány lépés megtétele után szúrjunk le egy karót az F pontban, majd menjük tovább ugyanannyit (AF távolságot), és a B pontnál kanyarodjunk merőlegeses balra, és addig távolodjunk a parttól, amíg az F pontban leszúrt botot, és a távoli hajót egy egyenesen nem látjuk.

A merőleges kitűzése már az ókori görögöknél sem jelentett gondot, hiszen ha egy háromszögvonalzót úgy készítünk, hogy oldalainak hossza rendre 3-4-5 egység, akkor az derékszögű vonalzó lesz (Pitagorászi számhármas). Ahol most állunk, ez lesz a K pont. Ennek az egyszerű eljárásnak a pontossága csak a végrehajtás pontosságától függ.

A Föld sugarának meghatározásakor használt eljárás is hasonló: a keresett érték helyett más, könnyebben mérhető adatokat fogunk mérni, és ezekből számítjuk ki majd a számunkra szükséges értéket.

Eratosztenész mérésének elve

A Nílus folyó nagyjából északi irányban folyik, így a Felső-Nílus-vidéki Szüéné (mai nevén Asszuán) vidékét a folyó deltájában fekvő Alexandriával összekötő legrövidebb távolság egy főkör mentén halad. Más szóval, Szüéné és Alexandris majdnem ugyanarra a délkörre esik. (Mondhatjuk úgy is, hogy azonos meridiánon van a két város.) Ez a kezdeti feltétel lehetővé teszi egy további, a számoláshoz szükséges adat meghatározását, ugyanis az azonos meridiánon fekvő helyeken a Nap azonos időpontban éri el a delelőpontját. Természetesen ez csak egy közelítés, a valóságban a két város között az eltérés 1 foknyi. Eratosztenész megállapította, hogy a nyári napfordulókor a Nap pontosan függőlegesen süt a Föld felszínére. Tudta azt is, hogy Szüenében van egy nagyon mély kút, és éppen a napforduló napján a Nap letűz a kút vizéig. Ekkor pedig a Nap képe a kút vizéből visszatükröződött. A helyiek ezt úgy mondták, hogy ebben a kútban évente egyszer csillan meg a napfény. Szüénétől délre már évente kétszer látják a megfelelő mélységű kutakban a jelenséget, északabbra viszont egyszer sem. A sokezer éves csillagászati megfigyelések tehát a napsugarak formájában egy órát adtak Eratosztenész kezébe. De nemcsak óraként, hanem párhuzamvonalzóként is használta a Nap sugarait.

Eratosztenésznek nem is kellett mást tennie, mint meghatározni a napsugarak beesési szögét Alexandriában a nyári napforduló napján, pontosan délben. Biztos lehetett benn, hogy ebben az időpontban Szüénében éppen 90 fok ez a beesési szög. Az ábrán látható A betű jelöli Alexandriát, a nagy S Szüénét, l-lel jelöltük a két város távolságát, míg alfával a napsugarak beesési szögét Alexandriában. Vajon a két város távolságát honnan tudta Eratosztenész? Mindkét város Egyiptomban van, út kapcsolja őket össze, ennek a hossza is ismeretes, mert Eratoszetenész tudta, hogy egy tevekaraván 50 nap alatt ér Szüénébe. Akkoriban közismert volt, hogy egy tevekaraván naponta 100 stádium utat tesz meg. Ez azt jelenti, hogy a két város távolságának 5000 stádium adódott. Ezzel az okoskodással meg tudta határozni az AS ív hosszát. Minden együtt van, most jön a számolás. Megmértük az szöget, amelynek értékére a teljes szög 50-ed része adódott. (A két alfával jelölt szög megegyezik, mert egyállású szögek.) Az ábra alapján tehát, úgy aránylik a teljes szöghöz, mint Alexandria és Szüéné távolsága aránylik a Föld sugarához!

Azt sajnos nem tudjuk, hogy Eratosztenész melyik stadionnal számolt, mert akkoriban is többféle mértékegység volt használatos, gondoljunk csak a napjainkban, az angolszász országokban használt mérföldre, és különböző változataira. Volt attikai, és olümpiai stadion, ha az attikait vesszük, akkor a Föld sugarára körülbelül 7400 km adódik. (Az attikai stadion nagyjából 607 angol láb, egy angol láb pedig 30,48 cm, ami 0,0003 km.) Ez az érték a manapság elfogadott irodalmi értékhez képest , ami 6378 km nagyon pontatlannak tűnik. Az eredmény pontatlansága azonban semmit sem von le a teljesítmény nagyságából.

Idézem Pólya Györgyöt, aki a Matematikai módszerek a természettudományban című könyvében a következőt írja: A módszer kivívja csodálatunkat. Hát nem óriásnak való mérés volna a Földet átkarolva a földkerületet saját araszával összehasonlítani? S mit tett a mi aprócska Eratosztenészünk? Alexandrában egy régen volt nap delén megfigyelte egy bot árnyékát, és használta a szögmérőjét. Csupán egy árnyék és egy gondolat, s általuk mégis a Földet mérő óriássá nőtt a törpe.

Csináld magad!

Akár magad is megmérheted a Föld sugarát az udvarban, vagy a kertben. Az időpont, amikor a mérést végzed legyen június 21-én, vagy attól nem túl távoli napon. Állíts fel pontosan függőlegesen egy ismert hosszúságú pálcát, majd ennek árnyékát mérd meg amilyen pontosan csak tudod, az adott helynek megfelelő csillagászati helyi idő szerint, pontosan délben. Ez az időpont csillagászati atlaszokban megtalálható. Ha csak az elvet akarjuk használni, akkor elég elcsípnünk azt a pillanatot, amikor a bot árnyéka a legrövidebb, és ekkor mérjük meg az árnyék hosszát. Elő kell még venni egy atlaszt, és abból ki kell keresni az adott helynek a Ráktérítőtől való távolságát.

Érdekes link: Végezd el a mérést az Interneten!

Felhasznált irodalom:
Pólya György: Matematikai módszerek a természettudományban
Simonyi Károly: A fizika kultútörténete
Élet és Tudomány 2002/25 szám. Nyári napfordulón mérjük meg a Föld sugarát!

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek