Egy KöMaL feladat kapcsán született gondolatok
2007/11/05 08:00
444 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

Egy-egy matematika feladat gyakran sok érdekes gondolat forrása lehet. Erre mutatunk példát ebben az írásban is.

A KöMaL e tanévi első számában kitűztek egy feladatot, amely a „Felvidéki versenyfeladat” megjelölést viselte. A feladat így szólt:

Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egész számra

komalfel_1

Ha valaki tanult a valós számsorokról, akkor a következő konvergens sor juthat az eszébe:

komalfel_2

Végezzük el a következő átalakításokat!

komalfel_3

Az utolsó egyenletből már következik a feladat állítása.

Ha olyan gondolatunk támadna, hogy ez a megoldás az „ágyúval verébre” tipikus esete, akkor próbálkozhatunk azzal az ötlettel, ami szintén megtalálható a Polygon kiadónál megjelent jegyzetben:

komalfel_4

Ez a teleszkópikus összeget alkalmazó megoldás nem vezetett eredményre. Ennek az oka az lehet, hogy az alkalmazott becslések túl durvák voltak. Finomításra van szükség!

Bencs Ferenc jó ötlete meghozta az elemi megoldást:

komalfel_5

Ez egy sikeres alkalmazása volt a teleszkópikus összeg módszernek.

A következőkben néhány további feladatot adunk közre, amelyek alkalmasak lehetnek a módszer gyakorlására.

1. Adjuk meg a következő kifejezések pontos értékét!

komalfel_6

2. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet

komalfel_7

Tarcsay Tamás

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek