Egy korábban kitűzött problémáról
Tarcsay Tamás
2006/10/12 16:42
366 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A "Mozgassunk egy ládát!" című írásunkban felvetett problémára adunk néhány megoldási ötletet és megoldást ebben a cikkben.

Ez az írás sok olvasónkban ébresztett gondolatokat. Többen voltak azon a véleményen, hogy feladatban szereplő mozgatás nem végezhető el.

Egy tipikusnak mondható vélemény ebből a táborból:

"A probléma adott, és a megoldás is egyértelmű, mindaddig amíg nem gondol az ember az alternatív megoldásokra, és azt gondolja, hogy egy kitűzött feladat megoldása nem lehet ilyen egyszerű. Szerény véleményem az, hogy mivel a matematikában nem tekinthetjük azt a lehetőséget, hogy a kocka vagy a fal képes rugalmasan deformálódni akkor a problémára az a válaszom, hogy nem megoldható a 90 fokkal való elforgatás. . . ."

Többen voltak akik viszont gyanakodtak, ha a mozgatás nem végezhető el, akkor nem lenne érdekes és meglepő e problémának a kitűzése. A gyakorlatias szemléletű diákok modellt készítettek és ez alapján már gyanították, hogy a szóban forgó mozgatás elvégezhető.

Az egyik tanítványunk, Ferenc a következő ábrával szemléltethető konstrukcióval állt elő:

Toljuk el a négyzetet a T alak kereszteződésébe, azután mozgassuk úgy a négyzetet, hogy az A csúcsa a felső falon csússzon, miközben a négyzet K középpontja a T alak alsó szárának felező egyenesén mozog. Megmutatta, hogy a négyzet CD oldala nem fog ütközni falba a mozgás során. Annak igazolásáról, hogy a BC szár sem ütközik falba megfeledkezett, de nagyon valószínűnek látszik, hogy ez így van.

Amikor Ferenc először szóban beszélt az ötletéről, akkor félreértettem, és ebből következően született a következő megoldás:

Tekintsük a következő ábrát!
Miután a négyzetet a kereszteződésbe toltuk, az A csúcs a felső falon mozog, és a BC él pedig csúszik T alak S töréspontján
Legyen
Megmutatható, hogy
és
Ekkor
Tekintettel arra, hogy a vizsgált szög hegyesszög, a kapott kifejezés pozitív, így

XN > LN. Ez viszont azt jelenti, hogy a CD szakasz nem "ütközik az L pontban levő sarokhoz".

A következő oldalon feladat kitűzőjének, Dr. Szilassi Lajos tanár úrnak két - látványosan szemléltetett - megoldását adjuk közre.

Szilassi tanár úr 1. megoldása

Helyezzük el a négyzetet a T alak kereszteződésébe úgy, hogy a négyzetvonalra essen a T alak P és Q töréspontja. (Ez máris bekövetkezik, ha a négyzetet a kereszteződésig toljuk.)

Azt kell belátnunk, hogy ha ehhez képest kicsit fordítunk a négyzeten, továbbra is ügyelve arra, hogy a négyzet(vonal) pl. az AB ill. AD oldal illeszkedjen a P ill. Q pontra, akkor a C csúcs soha nem éri el a T alak szemközti élét.

Legyen - praktikus okokból - x=PD és y=QB. Ekkor az egységnyi átfogójú APQ derékszögű háromszög két befogója 1-x és 1-y, a PQ egyenes távolsága a C ponttól z. A z távolságot könnyen kifejezhetjük x-el és y-nal, ha felírjuk a négyzet területét az őt alkotó háromszögek területeinek az összegeként.
Ebből z=1-xy , amely az x és y értelmezése miatt nem lehet nagyobb 1-nél.

2. megoldás:

Helyezzük el az egységnyi oldalú ABCD négyzetet a derékszögű koordináta-rendszerbe úgy, hogy kiinduló helyzetében a csúcsainak a koordinátái rendre az A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1) pontok legyenek. Ezt a négyzetet fogjuk elfordítani 90°-kal, a feltételeknek eleget tevő módon.

A négyzet mozgását két, egyidejűleg alkalmazott transzformáció szorzataként írjuk le:

  1. Toljuk el a négyzetet x távolsággal az x tengely mentén;
  2. Eközben forgassuk az A csúcsa körül a forgatás szöge pedig legyen
    Ekkor a négy pont koordinátái x függvényeként kifejezve:
    E két mozgás eredményeképpen a négyzet az x=1 esetén is ugyanoda kerül, mint x=0 esetén volt, csak az eredeti helyéhez képest 90°-kal elforgatva.

Azt kell igazolnunk, hogy e mozgás alatt a [0,1] valamint az [1,1] pont soha nem kerül a mozgó négyzet belsejébe. Ehhez elegendő azt vizsgálnunk, hogy a CD egyenes minden vizsgált x érték esetén a [0,1] intervallumon metszi az Y tengelyt. Ehhez írjuk fel a két (C ill. D) ponton átmenő egyenes egyenletét, majd ennek keressük a metszéspontját az y tengellyel. Ezeket a számításokat most mellőzve azt kapjuk, hogy a CD egyenes az alábbi - x től függő b(x) ordinátájú pontban metszi az y tengelyt:


Ennek az első pillantásra csúnyának tűnő függvénynek a grafikonja:
Megmutatható, hogy ez a függvény az x=0 helyen az 1 értéket veszi fel, a vizsgált intervallumon monoton csökkenő. Az x=1 helyen nincs értelmezve, ami nem meglepő, hiszen ekkor a CD egyenes illeszkedik az y tengelyre, tehát nem metszi azt. A függvény x=1 ponthoz tartozó határértéke:
Ez megnyugtató eredmény: a metszéspont egy [0,1] intervallumon belüli értékhez közelít, ha x az 1-hez tart.
A négyzet mozgását mutatja az alábbi animáció:
Megjegyezzük még, hogy ha a négyzet csúcsait leíró paraméteres alakban megadott függvényeket pl. a [0,9] intervallumon rajzoljuk le, világosabban látszik, hogy e csúcsok tulajdonképpen egy un. ciklois mentén mozognak.
Már csak egy kérdés van: hogyan vetődött fel ez a feladat? Erre (is) hamarosan választ kapnak olvasóink.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek