Egy korábban kitűzött problémáról
Tarcsay Tamás
2006/10/12 16:42
348 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A "Mozgassunk egy ládát!" című írásunkban felvetett problémára adunk néhány megoldási ötletet és megoldást ebben a cikkben.

Ez az írás sok olvasónkban ébresztett gondolatokat. Többen voltak azon a véleményen, hogy feladatban szereplő mozgatás nem végezhető el.

Egy tipikusnak mondható vélemény ebből a táborból:

"A probléma adott, és a megoldás is egyértelmű, mindaddig amíg nem gondol az ember az alternatív megoldásokra, és azt gondolja, hogy egy kitűzött feladat megoldása nem lehet ilyen egyszerű. Szerény véleményem az, hogy mivel a matematikában nem tekinthetjük azt a lehetőséget, hogy a kocka vagy a fal képes rugalmasan deformálódni akkor a problémára az a válaszom, hogy nem megoldható a 90 fokkal való elforgatás. . . ."

Többen voltak akik viszont gyanakodtak, ha a mozgatás nem végezhető el, akkor nem lenne érdekes és meglepő e problémának a kitűzése. A gyakorlatias szemléletű diákok modellt készítettek és ez alapján már gyanították, hogy a szóban forgó mozgatás elvégezhető.

Az egyik tanítványunk, Ferenc a következő ábrával szemléltethető konstrukcióval állt elő:

Toljuk el a négyzetet a T alak kereszteződésébe, azután mozgassuk úgy a négyzetet, hogy az A csúcsa a felső falon csússzon, miközben a négyzet K középpontja a T alak alsó szárának felező egyenesén mozog. Megmutatta, hogy a négyzet CD oldala nem fog ütközni falba a mozgás során. Annak igazolásáról, hogy a BC szár sem ütközik falba megfeledkezett, de nagyon valószínűnek látszik, hogy ez így van.

Amikor Ferenc először szóban beszélt az ötletéről, akkor félreértettem, és ebből következően született a következő megoldás:

Tekintsük a következő ábrát!
Miután a négyzetet a kereszteződésbe toltuk, az A csúcs a felső falon mozog, és a BC él pedig csúszik T alak S töréspontján
Legyen
Megmutatható, hogy
és
Ekkor
Tekintettel arra, hogy a vizsgált szög hegyesszög, a kapott kifejezés pozitív, így

XN > LN. Ez viszont azt jelenti, hogy a CD szakasz nem "ütközik az L pontban levő sarokhoz".

A következő oldalon feladat kitűzőjének, Dr. Szilassi Lajos tanár úrnak két - látványosan szemléltetett - megoldását adjuk közre.

Szilassi tanár úr 1. megoldása

Helyezzük el a négyzetet a T alak kereszteződésébe úgy, hogy a négyzetvonalra essen a T alak P és Q töréspontja. (Ez máris bekövetkezik, ha a négyzetet a kereszteződésig toljuk.)

Azt kell belátnunk, hogy ha ehhez képest kicsit fordítunk a négyzeten, továbbra is ügyelve arra, hogy a négyzet(vonal) pl. az AB ill. AD oldal illeszkedjen a P ill. Q pontra, akkor a C csúcs soha nem éri el a T alak szemközti élét.

Legyen - praktikus okokból - x=PD és y=QB. Ekkor az egységnyi átfogójú APQ derékszögű háromszög két befogója 1-x és 1-y, a PQ egyenes távolsága a C ponttól z. A z távolságot könnyen kifejezhetjük x-el és y-nal, ha felírjuk a négyzet területét az őt alkotó háromszögek területeinek az összegeként.
Ebből z=1-xy , amely az x és y értelmezése miatt nem lehet nagyobb 1-nél.

2. megoldás:

Helyezzük el az egységnyi oldalú ABCD négyzetet a derékszögű koordináta-rendszerbe úgy, hogy kiinduló helyzetében a csúcsainak a koordinátái rendre az A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1) pontok legyenek. Ezt a négyzetet fogjuk elfordítani 90°-kal, a feltételeknek eleget tevő módon.

A négyzet mozgását két, egyidejűleg alkalmazott transzformáció szorzataként írjuk le:

  1. Toljuk el a négyzetet x távolsággal az x tengely mentén;
  2. Eközben forgassuk az A csúcsa körül a forgatás szöge pedig legyen
    Ekkor a négy pont koordinátái x függvényeként kifejezve:
    E két mozgás eredményeképpen a négyzet az x=1 esetén is ugyanoda kerül, mint x=0 esetén volt, csak az eredeti helyéhez képest 90°-kal elforgatva.

Azt kell igazolnunk, hogy e mozgás alatt a [0,1] valamint az [1,1] pont soha nem kerül a mozgó négyzet belsejébe. Ehhez elegendő azt vizsgálnunk, hogy a CD egyenes minden vizsgált x érték esetén a [0,1] intervallumon metszi az Y tengelyt. Ehhez írjuk fel a két (C ill. D) ponton átmenő egyenes egyenletét, majd ennek keressük a metszéspontját az y tengellyel. Ezeket a számításokat most mellőzve azt kapjuk, hogy a CD egyenes az alábbi - x től függő b(x) ordinátájú pontban metszi az y tengelyt:


Ennek az első pillantásra csúnyának tűnő függvénynek a grafikonja:
Megmutatható, hogy ez a függvény az x=0 helyen az 1 értéket veszi fel, a vizsgált intervallumon monoton csökkenő. Az x=1 helyen nincs értelmezve, ami nem meglepő, hiszen ekkor a CD egyenes illeszkedik az y tengelyre, tehát nem metszi azt. A függvény x=1 ponthoz tartozó határértéke:
Ez megnyugtató eredmény: a metszéspont egy [0,1] intervallumon belüli értékhez közelít, ha x az 1-hez tart.
A négyzet mozgását mutatja az alábbi animáció:
Megjegyezzük még, hogy ha a négyzet csúcsait leíró paraméteres alakban megadott függvényeket pl. a [0,9] intervallumon rajzoljuk le, világosabban látszik, hogy e csúcsok tulajdonképpen egy un. ciklois mentén mozognak.
Már csak egy kérdés van: hogyan vetődött fel ez a feladat? Erre (is) hamarosan választ kapnak olvasóink.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek