Egyenletek megoldása az Excel segítségével
Tarcsay Tamás
2003/06/03 08:00
13175 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Folytatódik az Excel oktatásban való felhasználásával foglalkozó sorozatunk. Ebben a cikkben nem az órai felhasználhatósága kerül előtérbe, hanem az órát előkészítő háttérmunka segédeszközeként jelenik meg, úgy, mint egy nélkülözhetetlen eszköz a matematikatanár számára.

A tanulók versenyre való felkészítése során, a matematika szakkörökön, vagy csak a kutatott problémák megoldása közben sokszor felmerül, hogy egyes bonyolultnak tűnő egyenletnek vajon milyen megoldásai lehetségesek, milyen tartományban érdemes őket keresni, vagy egyáltalán van-e megoldás. Ezekre a kérdésekre is választ adhatunk az Excel segítségével.

A gyökök keresésének egy módszere

Az 1.1. ábrán látható harmadfokú polinom megoldásait keressük. A példa polinom algebrai úton viszonylag gyorsan megoldható.

(Mivel a harmadfokú polinomnak biztosan van egy megoldása, és látható, hogy x kiemelhető, ezért a biztos megoldás a 0. Az x kiemelése után kapott másodfokú tényező már a másodfokú egyenlet megoldóképletével elemezhető, gyökei megkereshetők.)

Mi viszont most más úton fogunk haladni. A könnyen áttekinthető példát más, bonyolultabb egyenletek gyökeinek keresésére jól alkalmazható módszer bemutatására fogjuk használni. A módszer lényege abban áll, hogy első lépésként az egyenletet nullára redukáljuk, majd az így kapott kifejezést függvénynek tekintve "értelmesen választott" értelmezési tartományon ábrázoljuk az Excel diagramszerkesztőjével. Ahol a grafikon metszi az x-tengelyt, ott várható a megoldás.

(Az értelmezési tartomány megfelelő intervallumának kereséséhez az analízis eszközeit: a monotonitás, a korlátosság, vagy a határérték vizsgálatát kell használnunk. Jelen példánál a harmadfokú polinom viselkedésének ismerete adja a jogot, hogy [-4,6] intervallumban keressük a gyököket) Tehát vizuálisan keressük a tengelymetszeteket. A 1.2 . ábra példája azért remek, mert látható, hogy a grafikon egy szakaszon 0 és 2,5 között gyakorlatilag ráfekszik a tengelyre, tökéletesen nem olvasható le semmi. Ekkor csökkentjük az értelmezési tartományt.

(Ügyeljünk arra, hogy a diagramon az automatikus beállítás lehetőségét elveszítettük, a tengelyek megfelelő maximális és minimális értékeit is be kell állítani. Jobb egérrel klikkeljünk rájuk és a skálabeosztásnál írjuk be a megfelelő értékeket!)

Példánkban (1.3. ábra) az x=0 megoldás jól látszik, de az [1,5; 2,5] tartományban nem látszik tisztán, hogy metszi, érinti, vagy hozzá sem ér a túl vastag vonallal ábrázolt grafikon a tengelyhez. Ezért tovább finomítjuk az értelmezési tartományt (1.4. ábra). Igen, ekkora tartományban már látszik, hogy két megoldás van. A további finomításnál, az [1,9;2,3] tartományban (1.5. ábra) már le is olvasható a két gyök, a 2 és a 2,1.

A matex05.xls munkafüzet Gyökkereső munkalapján gomb form-elemet használtam, amely a Határbeállítás makrót futtatja. Tehát az intervallum bal és jobb határának beállítása után a Határbeállító feliratú gomb megnyomásával a grafikonon automatikusan megjelenik a helyes grafikon.

Harmadfokú egyenlet megoldása Excel segítségével

A 2.1 ábrán látható harmadfokú polinom gyökeit szeretnénk meghatározni. Gondolom mondanom sem kell, hogy példaként olyan polinomot választottam, amelynek a gyökei nem "szép" számok lesznek.

Ezeket a gyököket hogyan találhatjuk meg az Excel segítségével?

Erről szól ez a rész. Első lépésként ábrázolással keressük meg a lehetséges megoldásokat tartalmazó kellően szűk tartományokat! A 2.2 ábrán jól látszódik, hogy 3 megoldás van. A matex05.xls munkafüzet Harmadfokú-megoldó1 munkalap Határbeállítás makrójával pontosíthatjuk a gyököket tartalmazó tartományokat. Balról jobbra haladva az első gyök a [-2; -1] intervallumban (2.3 ábra), a második gyök a [1; 1,5] intervallumban (2.4 ábra), a harmadik gyök a [5; 5,5] intervallumban (2.5 ábra) van.
3. ábra

Az egyenlet megoldásait az Excel Eszközök (Tools) menüpont Célérték keresése (Goal Seek) utasításával fogjuk megkeresni. A lépéseket az ábrán követhetjük nyomon.
Sajnos az ábrán lévő feliratok angol nyelvűek, de a leírás tartalmazni fogja a magyar nyelvű megfelelőt is.

Első lépésként kijelölünk egy munkalapon (Harmadfokú-megoldó2) egy cellát, mint a független változó (x) beviteli celláját (B1), valamint képlettel bevisszük a függvényt (B2) oly módon, hogy az x-ek helyén az előző cellára hivatkozunk (=B1*B1*B1-5*B1*B1-3*B1+10).

Nem mindegy a kezdőérték. Azért kerestük meg a környezetét a gyököknek, hogy a Célérték keresés utasításhoz megfelelő kezdőértéket találjunk. Példánkban balról jobbra haladva az első gyökhöz -1 egy jó kezdőérték, a második gyökhöz az 1 és a harmadikhoz pedig az 5. (3..1. ábra)

Második lépésként az Eszközök menüpont Célérték keresése utasítását előhívjuk, és a Célcella (Set cell) beviteli mezőre kattintva (a kurzort ide állítva) jelöljük ki a képletet tartalmazó cellát. A beviteli mezőben megjelenik a célcella abszolút címe (3.2). A következő lépésben megadjuk a Célérték (To value) beviteli mezőben az elérendő értéket, jelen esetünkben a 0-át (3.3. ábra). Aztán megadjuk a Módosuló cella (By changing cell) címét (3.4). Ha a munkánkat OK-val elfogadjuk, akkor még nem írja át a cellák tartalmát, hanem egy panellel megmutatja a célérték eredményét (Célérték állapota, Goal Seek Status) (3.5. ábra) és a cellában a gyök, általa kiszámított, közelítő értékét.

"Házi feladatok"

A módszer természetesen jól alkalmazható más egyenletek megoldásainak keresésére is. Az olvasóra bízom az ábrán lévő egyenletek megoldásainak keresését. Az alábbi egyenletek kivétel nélkül azt a kérdést fejezik ki, hogy az adott függvény mely x helyettesítési érték esetén veszi fel az egyenlőség jobb oldalán lévő értéket. Az ilyen típusú feladatoknál nem szükséges nullára redukálni az egyenletet, hanem elegendő Célérték beviteli cellába a jobboldalon álló értéket megadni.

Kezdetben kicsit szokatlan, hogy számítógépet kapcsoljon be a tanár elméleti úton is megoldható feladatokra, mondván, hogy lassú, felépül a rendszer, aztán az Excel programot kell behívni. A program felépülése is idő. De ha a számítógépet bekapcsoljuk, és egyszer felépül az Excel, a számológépnél hasznosabb szerszámot kapunk munkánkhoz.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek