Egymásra épülő feladatok
Tarcsay Tamás
2006/02/21 13:26
1172 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A diákok számára hasznos az egymásra épülő feladatokat tartalmazó sorok megoldása. A tanárok számára szellemi kihívást jelenthet ilyenek összeállítása.

Az itt közölt feladatsor a 2006. évi, 14. számú emelt szintű érettségi tételhez kapcsolható
Induljunk ki egy régebbi KöMaL feladatból! B. 3423. Alkothatnak-e egy háromszög beírt körének az oldalakon levő érintési pontjai tompaszögű háromszöget?

1. ábra A beírt körhöz a csúcsokból húzott érintő szakaszok egyenlők, így az AQR, a BRP és a CQP háromszögek egyenlő szárúak.

Ebből következik, hogy a vizsgált háromszög egyik szöge egyenlő az eredeti háromszög azon két szögének számtani közepével, amelyek közös szárán van a szög csúcsa. Ebből már azonnal adódik a bizonyítandó állítás.

Felvethetjük ezek után, hogy az előző tétel mit jelent arra az esetre vonatkozóan, amikor az ABC háromszög derékszögű.

Könnyen igazolható, hogy ekkor a beírt kör érintési pontjai által meghatározott háromszög derékszöggel szemközti szöge 45 fokos.

Nem tudjuk pontosan, hogy milyen versenyről származik a következő, itt vizsgálható probléma:

Egy hegyesszögű háromszögben az egyik csúcs és a magasságpont távolsága egyenlő a szemközti oldal hosszával. Mekkora a háromszög adott csúcsnál levő szöge?
2. ábra

Könnyen igazolható az ACT háromszög és a MTB háromszögek egybevágósága, amiből következik, hogy CT = TB. Ez viszont azt jelenti, hogy a CTB háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, azaz a B-nél levő belső szög 45 fokos.

Érdemes megfogalmaztatni a gyerekekkel a kapott állítás megfordítását, ami így szól.

Ha egy hegyesszögű háromszög egyik szöge 45 fokos, akkor az ehhez tartozó csúcs és a háromszög magasságpontjának távolsága egyenlő a szemközti oldal hosszával.

A vázolt előzmények után a bizonyítás már nem jelenthet gondot.

Következzen most már egy újabb KöMaL feladat!

B. 3873. Az ABC derékszögű háromszög beírt köre az AC befogót P-ben, a BC befogót Q-ban, az AB átfogót R-ben érinti. Legyen M a PQR háromszög magasságpontja. Igazoljuk, hogy RM=PQ.

Javasolta: Gerőcs László. A megoldást (ezek után) már az olvasóra bízzuk.


Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek