Egymásra épülő feladatok
Tarcsay Tamás
2006/06/26 09:20
637 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Már korábban is közültünk egymásra épülő feladatokat tartalmazó feladatsort. Most a valószínűségszámítás témaköréből válogatunk.

A feladatok többségének egy megoldását is közöljük. Nem állítjuk, hogy ez a legegyszerűbb, sőt! Szívesen közreadnánk más, az olvasóktól érkezett megoldásokat is, amiket a rovatunk címén várjuk.

1. feladat:

10 piros és 5 fehér gyöngy legfeljebb csak színében különbözik egymástól. Becsukott szemmel gyöngysort fűzünk belőlük. Mennyi annak a valószínűsége, hogy fehér gyöngyök nem kerülnek egymás mellé?

A létrehozható különböző gyöngysorok száma:

hiszen a 15 "gyöngyhely" közül kell kiválasztani 5-öt a fehérek számára (ismétlés nélküli kombináció).

Azon különböző gyöngysorok száma, amelyekben fehérek nem kerülnek egymás mellé mert a 10 meglevő piros gyöngy előtt, között és után 11 olyan hely van, amelyre tehető fehér, és ezek közül kell ötöt választani.

Ha gyöngysorok választását egyenlő valószínűségűnek tekintjük (klasszikus valószínűségi mező), a keresett valószínűség:

2. feladat

(KöMaL Gy. 2321.):

Mennyi annak a valószínűsége, hogy az ötöslottő húzáskor a kihúzott nyerőszámok között vannak szomszédosak?

Vizsgáljuk a komplementer esemény valószínűségét! Mennyi annak valószínűsége, hogy a kihúzott öt szám között nincsenek szomszédosak? Ismert, hogy a 90 számból kiválasztható ötelemű halmazok (90 elemű halmaz ötöd osztályú ismétlés nélküli kombinációi) száma: Vegyük észre, hogy ez a probléma hasonlóságot mutat az előző feladattal! 85 piros (a nem nyerő számok) gyöngyöt és 5 fehér (nyerő számok) gyöngyöt kell sorba rakni úgy, hogy két fehér gyöngy ne kerüljön egymás mellé. A korábbiak szerint ezeknek a kedvező sorrendeknek a száma:
Így a feladatban keresett valószínűség:

3. feladat:

Egy kertész 3 juhar-, 4 tölgy- és 5 nyírfát ültetett véletlenszerűen egy sorba. Mennyi annak valószínűsége, hogy nyírfák nem kerültek egymás mellé?

Az összes lehetséges ültetési sorrendek száma (ismétléses permutáció):
Azon sorrendek száma, amelyekben nyírfák nem kerülnek egymás mellé:
mert a juharok és tölgyek összes sorrendjét adjuk meg először, majd minden sorrendhez keressük a nyírek elhelyezési lehetőségeit. Így a keresett valószínűség:

4. feladat:

10 fiú és 5 lány moziba megy, jegyeik egy sorba, egymás mellé szólnak, és véletlenszerűen osztják szét azokat. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két lány nem kerül egymás mellé?

Miben különbözik ez a feladat az elsőtől? Más lesz itt a keresett valószínűség értéke? Miért?

A jegyek összes kiosztási lehetőségeinek száma 15! (ismétlés nélküli permutáció) Azon sorrendek száma, ahol lányok nem kerülnek egymás mellé:
Ebből következően a valószínűség:

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek