Emelt szintű érettségi vizsga matematikából (2005.) XII.
2005/02/16 00:00
1992 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Folytatjuk az OM honlapján olvasható memelt szintű matematika érettségi vizsga szóbeli tételek sorozatunkat: ezúttal a 4. tétel egy - általunk lehetségesnek tartott - vázlatát közöljük.

4. tétel: Gyökvonás, gyökfüggvény

Definíciók:

  1. Négyzetgyök definíciója
  2. n-edik gyök definíciója
    Ha a gyökkitevő páros szám - 2k (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely nemnegatív a valós szám 2k-adik gyöke olyan nemnegatív szám, amelynek 2k-adik hatványa a.
    Ha a gyökkitevő páratlan szám - 2k+1 (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely a valós szám 2k+1-edik gyöke olyan szám, amelynek 2k+1-edik hatványa a.
  3. Gyökfüggvények

hozzárendelési szabállyal megadott függvények tulajdonságai:

1. páratlan gyökkitevő esetén

  • a függvény minden valós számra értelmezve van
  • értékkészlete a valós számok halmaza
  • szigorúan monton növekedő

2. páros gyökkitevő esetén

  • a függvény legbővebb értelmezési tartománya a nem negatív számok halmaza
  • értékkészlete a nemnegatív számok halmaza
  • szigorúan monoton növekedő
  • minimuma x= 0 helyen van, értéke 0

Tételek

  1. A 2 négyzetgyöke irracionális.
  2. Négyzetgyökvonás azonosságai:
  3. n-edik gyökvonás azonosságai (Az alábbiakban minden páros kitevőjű gyök alatt csak nem negatív szám állhat!)
  • Szorzat n-edik gyöke:
    A bizonyításhoz emeljük n-edik hatványra az egyenlőség mindkét oldalát. A bal oldal n-edik hatványa a definíció alapján ab. Jobb oldal n-edik hatványa a hatványozás azonosságai és a definíció alapján:
    Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és n-edik hatványai is egyenlők, igaz az egyenlőség.
  • Hányados n-edik gyöke:
    A bizonyításhoz emeljük n-edik hatványra az egyenlőség mindkét oldalát. Bal oldal n-edik hatványa a definíció alapján
    Jobb oldal n-edik hatványa a hatványozás azonossága és a definíció alapján:
    Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és n-edik hatványai is egyenlők, igaz az egyenlőség.
  • k-adik hatvány n-edik gyöke:
    Pozitív egész k esetén a bal oldal átalakításával eljuthatunk a jobb oldalon álló kifejezéshez.
    A bizonyítás negatív k egész esetén is hasonlóan történik.
  • k-adik gyök n-edik gyöke:
    A bal oldal nk-adik hatványa a gyökvonás definíciója és a hatványozás azonosságai alapján:
    A jobb oldal nk-adik hatványa a gyökvonás definíciója alapján szintén a. Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és nk-adik hatványa is egyenlő, igaz az egyenlőség.

Alkalmazások:

Matematikai:

  • másod- és magasabbfokú egyenletek megoldása
  • gyökös egyenletek megoldása
  • mértani sorozatok

Egyéb:

  • kamatszámítás
  • inga lengésidejének meghatározása
  • harmonikus rezgőmozgás körfrekvenciájanak kiszámítása

Feladatok:

  1. http://www.sulinet.hu/matek/froh_fel/f_0009.doc
  2. http://www.sulinet.hu/matek/froh_fel/f_0039.doc

Link

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek