Függvények az általános iskolában
2002/10/01 15:09
2334 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

Függvénykapcsolatot használunk fel akkor is, ha

  • két adott halmaz elemeit párba állítjuk;
  • számokat táblázatba rendezünk, esetleg a táblázat hiányzó elemeit határozzuk meg;
  • számegyenesen megadott ponthoz tartozó számot keresünk;
  • a számegyenesen egy szám helyét határozzuk meg.
    Valószínűleg az előbbiek miatt találkozhatunk a sokak által kedvelt telefonos TV-játékokban olyan 8-9 éves gyerekekkel, akik nagyon gyorsan ismernek fel szabályokat. E játékokkal kapcsolatban azonban feltétlenül meg kell jegyezni: ha nem adott a szabály, akkor a matematika szempontjából akármelyik megoldást el kellene fogadni.
    Például:
    Mi a következő tagja, illetve a szabálya annak a sorozatnak, amelynek az első három tagja adott: 1; 2; 4?
    Megoldás lehet:
  • 8; a következő tag az előző kétszerese;
  • 7; a szomszédos tagok különbsége mindig 1-gyel nő;
  • 5; váltakozva 1-et, illetve 2-t adunk az előző taghoz;
  • 4; az első két tag kivételével a sorozat minden tagja 4;
  • 1; a sorozatban az 1; 2; 4; tagok ismétlődnek.

További szabályok kitalálásához csak a fantáziánk szabhat határt.
Az ötödik osztályban a függvény fogalmának kialakításához szükséges újabb ismeretek kerülnek elő. Az alsó tagozatban a helymeghatározás általában csak a számegyenesre vonatkozott, az 5. osztálytól már a síkra is. Itt már megszokott dolog, hogy az adott szabály alapján kapott számpárokat táblázatba foglaljuk, majd az általuk meghatározott pontokat derékszögű koordináta-rendszerben ábrázoljuk.

A helymeghatározásnál célszerű megemlíteni, hogy környezetismeretből a térképeken való tájékozódáskor már volt szó a szélességi és hosszúsági körökről, és az is helymeghatározás. Ezen kívül a grafikonok olvasása (időjárás jelentésekben a hőmérséklet oszlop-diagramban, politikusok ismertsége kör-diagramban; egy beteg lázgörbéje vonal-diagramban) és grafikonok készítése (egy dolgozat osztályzatainak az ábrázolásához oszlop-diagrammal) az, ami szorosan a témakörhöz tartozik.

A legtöbb tantervben és tankönyvben ekkor kerül elő a téglalap kerületének és területének, illetve a téglatest térfogatának a kiszámítása, amelyről itt még nincs értelme megemlíteni, hogy ezek is függvények, és sajnos, erre az általános iskolák többségében később sem kerül sor, és ezért fordulhat elő végzős matematika szakos hallgatókkal, hogy nem tudnak példát mondani olyan két- vagy többváltozós függvényre, amely az általános iskolai matematika-oktatásban előkerül.

A hatodikos tananyagban - a korábban tanultakon kívül - elsősorban az egyenes és fordított arányosság grafikonjainak vizsgálatával folytatódik a függvényszemlélet fejlesztése, de ekkor tanítjuk a tengelyes tükrözést, de nem mondjuk ki, hogy ez is függvény.

A függvény fogalmát hozzárendelések vizsgálatával 7. osztályban vezethetjük be, például az alábbihoz hasonló feladatokon keresztül.
Melyek azok a hozzárendelések, amelyek az alaphalmaz minden eleméhez pontosan egy képhalmazbeli elemet rendelnek?

Alaphalmaz: az osztály tanulói; képhalmaz: az emberek halmaza; a hozzárendelés szabálya: minden tanulóhoz rendeljük a testvérét!

  • Alaphalmaz: természetes számok; képhalmaz: természetes számok; a hozzárendelés szabálya: minden természetes számhoz rendeljük a nála 1-gyel kisebb számot!
  • Alaphalmaz: az osztály tanulói; képhalmaz: a teremben levő székek; a hozzárendelés szabálya: minden tanulóhoz rendeljük a azt a széket, amelyiken ül!
  • Alaphalmaz: az osztály tanulói; képhalmaz: osztályzatok; a hozzárendelés szabálya: minden tanulóhoz rendeljük a 6. év végi matematika osztályzatát!
  • Alaphalmaz: személygépkocsik; képhalmaz: rendszámok; a hozzárendelés szabálya: minden személygépkocsihoz rendeljük azt a rendszámot, amellyel részt vesz a forgalomban!
  • Alaphalmaz: a sík pontjai; képhalmaz: ugyanazon sík pontjai; a hozzárendelés szabálya: minden ponthoz rendeljük egy adott egyenesre vonatkozó tükörképét!
    Beszélünk a hozzárendelés értelmezési tartományáról (É.T.: az alaphalmaz azon részhalmaza, amelynek elemeihez rendelünk egy vagy több elemet) vagy érték készletéről (É.K.: a képhalmaz azon részhalmaza, amelynek elemeit hozzárendeljük az értelmezési tartomány egy vagy több eleméhez).
    Egy lehetséges definíció (a nem egységesen definiált egyértelmű hozzárendelés helyett): A függvény olyan hozzárendelés, amely az alaphalmaz minden eleméhez pontosan egy képhalmazbeli elemet rendel.

Megkülönböztethetünk szám-szám, illetve pont-pont típusú függvényeket. Az szám-szám függvények közül hetedikben lineáris függvényeket, nyolcadikban néhány nemlineáris függvényt vizsgálunk, pont-pont függvényeket geometriai transzformációknak nevezzük. Talán az elnevezések miatt itt kezd kialakulni az a - téves - felfogás, hogy az emberek többségének függvényekkel kapcsolatban csak a grafikonok és a koordináta-rendszer jut eszébe.

Ha végig lapozzuk az elmúlt évek országos versenyfeladatait, megállapíthatjuk, hogy a függvényekkel az általános iskolások versenyein elég mostohán bántunk. Míg geometriai transzformációval megoldható feladatot vagy sorozatot többet is találunk, addig grafikonok vizsgálatával, elemzésével kapcsolatos feladattal nem igen foglakozunk. Ennek valószínűleg az oka az, hogy vagy túl könnyűek, vagy túl nehezek az ilyen jellegű feladatok, ezért javasoljuk egy függvény-börze létrehozását: akinek a témakörhöz kapcsolódó ötletes feladata van, azt - természetesen névvel és címmel megadva - ezeken az oldalakon megjelentetnénk.

Feladatok:

  • Két szabályos dobókockával egyszerre dobunk. Készítsünk oszlop-diagramot, amelyben a dobás eredményének a valószínűségét ábrázoljuk!
  • Melyik vonalnak van több pontja: az 1 cm vagy az 1 dm hosszúságú szakasznak?
  • Melyik alakzatnak van több pontja: egy körívnek vagy egy egyenesnek?
  • Ábrázoljuk a középpontok távolságának függvényében az r1= 1 cm és az r2= 2 cm sugarú körvonalak metszéspontjainak a számát!
  • Az ábrán egyenes körkúp, félgömb és egyenes körhenger alakú edények láthatók, amelyekbe egyenletesen vizet csorgatunk. A körkúp és a körhenger alapkörének sugara és magassága megegyezik a félgömb sugarával. Ábrázoljuk az egyes edényekben levő vízmagasságot az idő függvényében!

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek