Függvények határértéke és folytonossága
2005/01/15 14:43
1265 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

Definíciók:

1. Függvény véges helyen vett véges határértékének szemléletes fogalma:
Legyen f(x) függvény a pont valamely környezetében értelmezve, kivéve esetleg az a helyet. Akkor mondjuk, hogy f(x) függvény határértéke a helyen A, ha y=A egyenes mint középvonal körül akárhogyan jelölünk ki szélességű sávot, mindig találunk a-nak olyan δ sugarú környezetét, hogyha innen választunk tetszőleges x-et (kivéve esetleg az a-t), akkor a függvény görbéjének ehhez az x-hez tartozó pontja beleesik a kijelölt sávjába.

Véges helyen vett véges határérték definíciója:
Legyen f(x) függvény az a pont valamely környezetében értelmezve, kivéve esetleg a helyet. Akkor mondjuk, hogy f(x) függvény határértéke a helyen A, ha bármely ε>0 -hoz létezik olyan δ>0, hogy ha x-a│<δ , akkor f(x)-A│<ε.
(Jelölés, példák; stb...)

2. Függvény határértéke a végtelenben: egy f(x) függvénynek a végtelenben a határértéke A, ha bármely ε>0-hoz található olyan K szám, ha x>K, akkor
f(x)-A│< ε
.

3. Egy f(x) függvény az x=a helyen folytonos, ha a függvény ezen a helyen értelmezve van, továbbá ezen a helyen van határértéke, és ez a határérték egyenlő az a helyen felvett függvényértékkel.

4. Egy függvényt folytonosnak szokás nevezni, ha az értelmezési tartományának minden egyes pontjában folytonos.
(Lineáris függvények, hatványfüggvények, exponenciális és logaritmikus függvények, trigonometrikus függvények, stb...)