Geometriai inverzióval is megoldható feladatok
2002/08/30 18:21
1557 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Ezt a gyűjteményt állandóan bővíteni szeretnénk. Szívesen vesszük, ha olvasóink is küldenek ilyen témájú problémákat.

Szerkesztési feladatok

  1. Adott a síkban két kör és egy pont. Szerkesszünk olyan kört, ami átmegy az adott ponton, és érinti az adott köröket.
  2. Szerkesszünk három adott kört érintő kört.
  3. Adott egy pont, egy kör és egy egyenes. Szerkesszünk olyan kört, ami átmegy az adott ponton, érinti az adott kört és az adott egyenest!
  4. Adott két egyenes (a és b) és egy pont (P). Szerkesszünk olyan kört, amely átmegy a P-n, érinti a-t, és középpontja a b-n van.
  5. Adott egy kör és két pont. Szerkesszünk olyan kört, ami átmegy a két adott ponton, és az adott kört merőlegesen metszi!
  6. Adott a síkban 3 különböző pont: A, B, és C. Szerkesszük meg azt a kört, amely átmegy C-n és amelyikre vonatkozóan A inverz képe B!

Bizonyítandó állítások

  1. Adva van k kör belsejében két pont, A és B. Bebizonyítandó, hogy van olyan kör, mely az A és B pontokon halad keresztül, és mely egészen a k belsejében fekszik. (MATEMATIKA VERSENYTÉTELEK 17/XXIV./3)
  2. Egy O pólusú geometriai inverzió esetén P képe P' és Q képe Q'. A pólus nincs a PQ egyenesen. Bizonyítsuk be, hogy az OPQ háromszög hasonló az OP'Q' háromszöghöz!
  3. Legyen az inverzió pólusa O, a sík két O-tól különböző pontja Q és S, ezeknek képei Q' és S'. Bizonyítandó, hogy Q'S' : QS = OS' : OQ = OQ' : OS. (KÖMAL 1971. január)
  4. Adott a síkban 3 különböző pont: A, B, és C. Legyen k az A-n átmenő B-t C-be vivő, l a B-n átmenő C-t A-ba vivő, m pedig a C-n átmenő, A-t B-be vivő inverzió alapköre. Mutassuk meg, hogy van két pont amelyen mindhárom kör átmegy!
  5. Adott a síkban két kör, melyeknek van közös belső érintőjük. Mutassuk meg, hogy van két olyan pont a síkban, melyeken e körök tetszőleges közös érintőjének az érintési pontok közti szakasza fölé rajzolt Thálész kör átmegy.
  6. Legyen k az ABC háromszögbe írt kör, melynek középpontja O, érintse k az oldalakat rendre A*, B*, C* pontokban. Mutassuk meg, hogy
    1. az A, B, C pontok k-ra vonatkozó inverzei felezik a B*C*, C*A*, A*B* szakaszokat,
    2. az ABC háromszög oldalegyeneseinek k-ra vonatkozó inverzei az A*O, B*O, C*O szakaszok feletti Thálész körök,
    3. az ABC köré írható k* kör inverze az A*B*C* háromszög Feuerbach köre.

Problémák

  1. Adott egy tetszőleges háromszög. Van-e olyan geometriai inverzió, ami a háromszög csúcsaihoz egy szabályos háromszög csúcsait rendeli?
  2. Adott a síkban 3 különböző pont: A, B, és C. Jellemezzük azokat a köröket, melyekre invertálva az adott pontokat, a kapott A', B' és C' pontokra A'C' = B'C' teljesül!
  3. Az MAB egyenlő szárú háromszög (MA = MB) M csúcsán két egyenes megy át: u és v. Az A pontból az u-ra és a B pontból a v-re bocsátott merolegesek metszéspontja W. Az A-ból az MA egyenesre állított merőleges egyenes az u-t U-ban metszi, B-ből az MB egyenesre állított merőleges egyenes a v-t V-ben metszi. Adjuk meg az UV és az MW egyenesek hajlásszögét!

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek