Gondolatok a poliéderek megadásáról
Tarcsay Tamás
2005/01/17 15:36
670 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Egy írás, ami a rovatvezető értetlenkedésének köszönhetően született meg. Talán az olvasók között is lesznek olyanok, akik új ismereteket kapnak belőle.

A rovatvezető az írás megszületésének történetéről:

Mozog-e?

Nemrégiben jelentettük meg Szilassi Tanár úr írását "Mozog-e?" címmel.
Ebben egy érdekes poliéderrel foglalkozik a szerző, és feltesz egy kérdést a poliéder mozgathatóságára (flexibilitására) vonatkozóan.

Nem sokkal ezután annak a cikknek a szerkesztésével kezdtem el foglalkozni, amelyben Szilassi tanár úr választ ad a feltett kérdésre.
Tekintettel arra, hogy a poliéderek tanában nem kifejezetten nagy jártassággal rendelkezem, a szerkesztés közben kérdések fogalmazódtak meg bennem, amelyeket eljuttattam a szerzőnek, aki egy újabb írással válaszolt rájuk.

Ekkor dönöttem úgy, hogy előbb ez utóbbi írást jelentetem meg. Biztos vagyok ugyanis abban, hogy rajtam kívül is vannak olyanok, akik ezt elolvasva könnyebben fogják megérteni a következő dolgozatot, ami a jövő héten fog megjelenni.

Gondolatok a poliéderek megadásáról

Az, hogy megadunk, definiálunk egy poliédert vagy bármilyen geometriai alakzatot, lényegében kommunikációt jelent az "adó" és a "vevő" (az író és az olvasó, az ember és a számítógép stb.) között.
Egy poliédert akkor tekintünk adottnak, ha az "adó" pontosan ugyanazt érti a szóban forgó konstrukción, mint a "vevő". Azt, hogy ennek az egyértelműségnek a biztosításához milyen mélyen kell részleteznie az adónak az objektum leírását, mindig az adott szituáció dönti el.
A legtöbbször úgy adunk meg egy poliédert, hogy megadjuk a szerkezetét, azt a kapcsolatrendszert, amely egyértelművé teszi, hogy mely lapok, milyen sorrendben kapcsolódnak egymáshoz.
Talán meglepő, de ha meggondoljuk, eléggé nyilvánvaló, hogy az összes kockának, téglatestnek, négyszög alapú (esetleg ferde) hasábnak, négyszög alapú csonka gúlának stb. ugyanaz a szerkezete.
Ezzel együtt külön-külön meg kell adnunk a poliéder lapjait, pl. a lapok szerkesztéséhez elegendő adatokkal, vagy a csúcsok koordinátáival.

Ha azt mondjuk, hogy azt a poliédert keressük, amelynek hat négyzetlapja van, akkor egyértelműen a kockára kell gondolnunk. Nem ilyen egyszerű a kérdés, ha a négyzetlap helyett más lapokat adunk meg.

Egy általános iskolás tankönyvben szerepelt az a feladat, hogy építsünk poliédert hat olyan rombuszból, amelynek hegyesszöge hatvan fokosnál nagyobb. Jóllehet, a feladat kitűzője sem gondolt arra, hogy két ilyen romboéder létezik.
Egybevágó rombuszokból építhető két különböző romboéder Ezeknek a testeknek a hálózata is eltér egymástól.
Egybevágó rombuszokból álló hegyes és lapos romboéder hálózata Ha ezzel az "összeállítási rajzzal" adunk meg egy poliédert, akkor lényegében egyetlen rajzon adtuk meg a poliédernek mind a metrikus, mind a szerkezetére vonatkozó adatait. Itt még talán eltekinthettünk volna a csúcsok megszámozásától, bonyolultabb alakzatok esetén azonban ez sokat segít annak a felderítésében, hogy melyek lesznek a szomszédos (összeillesztendő) lapok.
Gyakran felvetett kérdés, hogy egy adott poliédernek hány nem egybevágó hálózata van. Pl. hány különböző (nem egybevágó) módon teríthető ki egy kockafelület a síkba? (Természetesen elvárjuk, hogy a hálózat összefüggő maradjon.)

Olykor ugyanaz a hálózat is eredményezhet különböző poliédereket. Gondoljunk például arra, hogy két azonos alaplapú és különböző magasságú gúlát az alaplapjuk mentén összeillesztve kaphatunk egy konvex, vagy egy konkáv poliédert is, miközben a hálózatuk lehet ugyanaz.

Még általánosabb kérdés is felvethető a poliéderek egyértelmű megadásával kapcsolatban. Közismert, hogy pl. egy szívószálat két (alkalmas) helyen megtörve, és a két végét összeillesztve egy "merev" háromszögvonalat kapunk. Ha azonban három helyen törjük meg, és ugyanígy egy négyszöget formálunk belőle, akkor az már mozgatható lesz.

Mi a helyzet a poliéderekkel? Igaz-e, hogy ha adott egy poliéder szerkezete, továbbá megfelelő, valóban létező poliédert meghatározó adatokkal adottak a lapjai, akkor csak egy olyan poliéder létezik, amelyet ezek a lapok meghatároznak?
Az imént láttuk, hogy nem. Ez persze nem azt jelenti, hogy "mozgatható" az élei mentén. Röviden így vethető fel a kérdés:
Igaz-e, hogy egy lapjaival - valamint a lapok összeillesztését egyértelműen meghatározó szerkezetével - adott poliéder merev?

A konvex poliéderekre vonatkozóan főként a nevéhez fűződő konvergencia-kritériumról ismert Cauchy adta meg a választ:
Ha két konvex poliéder szerkezete azonos és megfelelő lapjaik egybevágók, akkor a két poliéder vagy irányítástartó módon, vagy (valamely síkra vonatkozólag) tükrösen egybevágó.

Azt már láttuk, hogy konkáv poliéderekre nem igaz az állítás. Ez persze nem jelenti azt, hogy vannak a konkáv poliéderek körében mozgatható poliéderek, vagyis olyanok, amelyeket egyáltalán nem határoz meg a hálózatuk, még olyannyira sem, hogy egy adott hálózatból két vagy több (de minden esetre véges sok) poliéder állítható össze.

Dr. Szilassi Lajos

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek