Hány bőrt lehet lehúzni egy problémáról? (III.)
Tarcsay Tamás
2006/06/19 14:15
663 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Következzen egy újabb bőr! Lehet, hogy ez az utolsó?
Ez az olvasón múlik.

Az első bőr.

A második bőr

A speciális esetekre kapott eredmények alapján a K(n) sorozat egy harmadik rekurziójára is rálelhetünk:
Valószínűnek tűnik, hogy ez a rekurzió is igazolható a teljes indukció módszerével. A bizonyítást olvasóinktól várjuk.

A valószínűségszámítás szitaformulája segítségével is megfoghatjuk a problémát.
Legyen A(k) az az esemény, hogy a k a k. helyen áll a permutációban. Ekkor a komplementer esemény valószínűségére vonatkozó tétel szerint igaz, hogy
Az egyenlőség jobb oldalán szereplő kifejezés második tagja adható meg a szitaformula segítségével.
A számolást nem részletezzük, csak arra utalunk, hogy a t tényezős szorzatok valószínűségeinek összege így számítható ki:

(Ki kell választani azt a t darab elemet, ami helyben marad, a többiek tetszőleges sorrendben lehetnek.)

Ilyen módon kapjuk, hogy
Az 1. táblázat adatai alapján megsejthető, hogy a P(n) sorozat konvergens. A kérdés az, hogy mi ennek a sorozatnak a határértéke.
Az utóbb kapott képletből nyilvánvalóvá vált, hogy P(n) a részletösszeg sorozata az alábbi numerikus sornak:
Ez azt jelenti, hogy a P(n) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha ez a sor is az, és a határértéke e sor összege.
A feladat most már a sor összegének meghatározása.
A hatványsorokról tanultak alapján tudható, hogy

Helyettesítsünk (-1)-et az x helyére! Így a következő egyenlőséget kapjuk:
E sor 0. és 1. tagjának összege 0, és így
Ez pedig azt jelenti, hogy a P(n) sorozat határértéke az Euler féle szám reciproka (1/e). A P(n) reciproksorozatának határértéke pedig e.

Végül még néhány gondolat:

Gyakorló tanárok és diákok gyakran olvassák az érettségi vizsgákra vonatkozó követelményeket. Az írásbeli feladatsorok összeállítóival szemben fontos elvárás, hogy betartsák az alábbi arányokat:

középszint :
Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 20%
Aritmetika, algebra, számelmélet 25%
Függvények, az analízis elemei 15%
Geometria, koordinátageometria, trigonometria 25%
Valószínűségszámítás, statisztika 15%

emelt szint :
Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 25%
Aritmetika, algebra, számelmélet 20%
Függvények, az analízis elemei 20%
Geometria, koordinátageometria, trigonometria 20%
Valószínűségszámítás, statisztika 15%

Vegyük számba, hogy az itt tárgyalt problémával kapcsolatban milyen matematikai területeket érintettünk!
• kombinatorika
• valószínűségszámítás
• halmazelmélet
• teljes indukció
• számsorozatok
• numerikus sorok
• függvénysorok
* algebrai átalakítások

Arra e sorok írója sem vállalkozna, hogy megadja a fenti témakörök előfordulásának százalékban kifejezett arányát.
Ne irigyeljük tehát az érettségi feladatsorok gyártóit!

Tarcsay Tamás

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek