Két pénzzel vagy kockával dobunk
Tarcsay Tamás
2003/08/18 12:16
1317 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Talán ezek azok a legegyszerűbb valószínűségi kísérletek, amelyeknek tanítása közben a legnagyobb vitákat válhatjuk ki diákjaink körében. Cikkünkben ezekkel a kísérletekkel kapcsolatos tapasztalatainkat, gondolatainkat adjuk közre.

A probléma felvetése után szinte minden alkalommal megkérdezik a gyerekek, hogy a két kocka megkülönböztethető-e egymástól, például különböző színűek-e.

Ilyenkor érdemes visszakérdezni, hogy lényeges-e ez a kérdés. Már ezen a ponton megjelenik a vita. A gyerekek - természetszerűleg - két táborra szakadnak, nagyon erősen védik az álláspontjukat, és az egyik tábor sem hagyja meggyőzni magát.

Ezek után megkérdezhetjük, hogy a két kockával dobott számok összege különböző lehetséges értékeinek valószínűsége egyenlő-e. Itt nem szokott véleménykülönbség lenni, mindenki elfogadja, hogy ezek a valószínűségek nem egyenlők.

Érdemes ezen a ponton házi feladatnak adni, hogy határozzák meg a tanulók a fenti valószínűségeket.

Általában két - ugyanazon lehetséges értékekkel rendelkező - valószínűségi változó (x1, x2) található meg a tanítványaink megoldásai között, ezeknek eloszlásait az alábbi táblázat tartalmazza.

Az x1 valószínűségi változót megadók gyakran azt mondják, hogy ők megkülönböztették a kockákat, az x2-pártiak pedig azzal szokták indokolni a megoldásukat, hogy nem tekintették különbözőnek a kockákat.

Mindkét csoport a klasszikus valószínűségi mezőre vonatkozó képletekkel számolt. A különbség ott van, hogy különböző számú elemi eseményekből állónak tekintették az egyes eseményeket.

Az x1 változót választók például a hatot így bontották fel: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1. Az x2 változó partján állók ugyanezt az eseményt a következő elemi eseményekből állónak gondolták: 1+4, 2+4, 3+3.

A "Kinek van igaza?" kérdésre felizzik a vita, senki sem hagyja meggyőzni magát.
Ezen a ponton a tanulók szokták javasolni, hogy végezzük el nagyon sokszor a kísérletet.
Ekkor nem megkülönböztethető két kockával sokszor dobatunk a gyerekekkel és lejegyezzük az eredményt. A dobásszám növelhető számítógépes vagy programozható zsebszámológépes modellel.

Egy futási eredmény látszik a következő ábrán, ahol az egyes lehetséges értékek gyakoriságát és relatív gyakoriságát adja meg a program.

Láthatjuk, hogy a relatív gyakoriságok az x1 valószínűségi változó eloszlásában szereplő valószínűségeket közelítik.

Érdekes, hogy még ezen a ponton sem könnyen szokták megadni magukat az x2-pártiak.
A független események tanítás után érdemes visszatérni a problémára, és magyarázatot adni a tapasztaltakra.

Mi volt az oka annak, hogy éppen most írtunk erről a problémáról?

Az Apáczai Kiadó ötödikes matematika tankönyvében találkoztunk a következő feladattal:

Eulerről, a nagy svájci matematikusról mesélik, hogy elmentek hozzá a kockajátékot kedvelők, és azt mondták:
Ha két kockával dobunk , és mindig arra tippelünk, hogy az összeg páros szám lesz, akkor sok-sok játék után kifosztjuk ellenfelünket, mert az összeg hatféleképpen lehet páros szám: 2, 4, 6, 8, 10, 12; de páratlan csak ötféleképpen: 3, 5, 7, 9, 11.

Mit gondoltok, mit válaszolt erre Euler?

Ugyanaz a véleményük az x1 és x2 pártiaknak?

Két pénzérmével való dobás eredménye

Az előző oldalon említett feladat elemzése előtt azonban érdemes - különösen kisebb gyerekek előtt, így 5. osztályban mindenképpen - két - esetleg három - pénzérme feldobását is megvizsgálni. Viszonylag kevés számú kísérlet elvégzésével, illetve elvégeztetésével is meggyőzhetjük a gyerekeket arról, hogy nem ugyanakkora valószínűséggel következik be például a fej-fej és a fej-írás eseteknek.

Mivel a kísérletezés örömét nem pótolhatja a számítógép sem, célszerű néhány percben dobásokat végeztetni, majd a gyerekek eredményeit összesíteni. Így rövid idő alatt egy viszonylag nagyszámú dobássorozat eredményéből következtethetünk - most már remélhetőleg helyesen.
A megértéshez nagyon hasznos lehet az ábránkon látható fa-diagramm elkészítése is - természetesen csak F vagy Í betűvel jelölve a dobás eredményét.

Amennyiben olyan az osztály érdeklődése, és ha a hétköznapi rohanásban időnk is engedi, a következő lépésekben is haladhatunk:

  • két különböző pénz dobása
  • két azonos pénz dobása
  • három különböző pénz dobása
  • három azonos pénz dobása

Természetesen további, pontosabb vizsgálódáshoz már célszerű a számítógépet is használni: viszonylag egyszerűen készíthető olyan program, amellyel a pénz- vagy a kockadobást szimulálhatjuk. Persze sokan vagyunk olyan tanárok, akik egyetlen nyelven sem tudunk programozni, ilyenkor fordulhatunk a gyermekeinkhez vagy tanítványainkhoz. Egy ilyen programot tölthet le az olvasó erről a helyről, amelyet egy KOMA pályázat keretében készített volt tanítványunk.

A programban

  1. Válasszuk ki, hogy pénzt vagy kockát dobatunk!
  2. Állítsuk be, hogy hány pénzt vagy kockát dobatunk!
  3. Írjuk be a dobások számát (tízmillióig!)!

Ezután a beállításoktól és gépünk sebességétől függően néhány másodperc múlva egy oszlopdiagrammban megjelenik az eredmény, amelyről nagy dobásszám esetén jól láthatók az előző következtetéseink. Egyúttal egy ablak is nyílik, amelyből pontosan leolvashatjuk az eredményt.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek