Kiteríthető-e minden poliéder?
Tarcsay Tamás
2005/04/04 08:00
1403 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A poliéderekről már több érdekes írás jelent meg rovatunkban. Most egy magyar származású fiatalember nagy hírnevet szerzett bizonyításával kapcsolatban szólunk ismét róluk.

Nemrég jelent meg egy hír az egyik internetes portálon, miszerint: "A jelenleg Kanadában élő, tizennégy éves Bezdek Dániel több helyi és országos tudományos díjat nyert már Albrecht Dürer ötszáz éves felvetésének bizonyításával." Ez a nevezetes probléma a következő: "A 16. század kezdetén, ábrázolásgeometriai vizsgálódásai közben Dürerben felmerült a kérdés, hogy vajon minden poliéder (térbeli, sík lapokkal határolt mértani test) kiteríthető-e úgy, hogy lapjai sehol sem fedik egymást." A festő úgy gondolta, hogy igen, de ezt a sejtést idáig senki sem igazolta. Úgy véljük, hogy érdemes három részre bontva megvizsgálni a Dürer-féle állítást:

  1. Igaz-e minden konvex poliéderre, hogy kiteríthető a síkba úgy, hogy minden lapja legalább egy másikkal (élben) szomszédos legyen és a kiterített poliéderfelület lapjai ne fedjék egymást.
  2. Ugyanez a kérdés, ha nem kötjük ki, hogy a poliéder konvex legyen, csak azt, hogy legyen egyszerű. (Az egyszerű jelző itt nem a bonyolult tagadása, hanem azt jelenti, hogy a poliéder felülete folytonos deformálással gömbbé alakítható, ugyanakkor minden lapja egyszerű (körré deformálható) sokszög.)
  3. Még általánosabban is feltehető a kérdés: Vizsgáljunk meg ebből a szempontból az egyszerű sokszögekkel határolt közönséges - de nem feltétlenül egyszerű, tehát akár tórusz-szerű poliédereket is.

Az első kérdésre valószínűleg igen a válasz. A harmadikra a határozott nemmel válaszolhatunk. Egy példa: Az a hétlapú poliéder, amelynek bármely két lapja szomszédos, nem teríthető ki egyetlen összefüggő tartománnyá. Erről hamar meggyőződhet bárki, ha a lapok ismeretében ezzel megpróbálkozik. (A szerkesztő megjegyzése: Ezt a poliédert Szilassi-poliédernek hívják. A nevét a megalkotójáról, Dr. Szilassi Lajos tanár úrról kapta, aki ennek az írásnak a szerzője. 1. ábra Konstruálható azonban olyan nem konvex, egyszerű poliéder is, amely nem teríthető ki úgy, hogy a kiterítést követően a lapok egy-egy élben illeszkedjenek egymáshoz. Bemutatjuk egy ilyen poliéder "egyik felét", amely a (piros) határvonala mentén összeilleszthető egy másik, ezzel egybevágó alakzattal. A kettő együtt egy egyszerű poliéder, amelyet ha ki szeretnénk teríteni, tapasztalhatjuk, hogy a sárga lapokhoz nem illeszthetők a velük szomszédos kék lapok. Ez viszont azt jelenti, hogy nem teríthető ki a poliéder egyetlen összefüggő alakzattá. 2. ábra Tehát a második kérdésre is nemmel kell válaszolnunk.

Az idézett hír valószínűleg az első kérdésről szól. Feltehetően Dürer is ilyen poliéderekre gondolt. Így hát bizonyára egy "lazább" feltételt kell szabnunk a kiterítésre, mint azt az itt felvetett nyitott problémákat bemutató web-oldalon is megtették: (9., 42. és 43. problémák). Vágjuk fel a poliédereket az élek mentén, de elégedjünk meg azzal, hogy a szomszédos lapok a kiterítés után legfeljebb egy csúcsban maradjanak szomszédosak. Vagy: követeljük meg ugyan, hogy a kiterítés után is összefüggő legyen a felület, de engedjük meg, hogy egy-egy lap is feldarabolható legyen, így nem csak az élek mentén, hanem bárhol elvágható a felület. Máris leszűrhetjük azt a - máshol is fontos, de a matematikában elengedhetetlen - tanulságot: előbb fogalmazzuk meg pontosan, egyértelműen a problémát, ezután próbáljuk megoldani.

Gondolkodjunk!

Igaz-e, hogy a fenti hétlapú poliédert bárhol "elfűrészelve" olyan egyszerű poliédert kapunk, amely már az első, szigorúbb értelemben kiteríthető? (A fűrész két egymáshoz közeli párhuzamos sík közé eső részét vágja ki a poliédernek.) 3. ábra

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek