Korom Pál: A paraméteres egyenletek tanítása az Excel segítségével
Tarcsay Tamás
2003/01/07 14:08
1643 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A cikk szerzője, a budapesti Alternatív Közgazdasági Gimnázium matematika-fizika szakos tanára, nagy tapasztalatokkal rendelkezik a számítógéppel segített oktatásban. Tapasztalatait hasznosítva egy nem könnyű matematikai témakör excel programmal töténő oktatási lehetőségeit ismerteti meg olvasóival.

Bevezetés

Aki foglalkozott már programozással, ismeri azt a jelenséget, hogy bizonyos programokat csak azért érdemes megírni, mert ahogy megadjuk a gépnek, hogy bizonyos esetekben mit csináljon, aközben a problémát teljesen át kell gondolni. Ez az a folyamat, amely során sokat tanul az ember. A bejárt logikai utak helyessége jól átgondolt adatokkal könnyedén ellenőrizhető.
A matematikaoktatás egyik nehézsége a paraméteres egyenletek megoldásának oktatása. A tanulók nehezen motiválhatók, mivel nem látják, hogy a paraméterek különböző értéke szerint miért kell különböző eseteket tárgyalni, mire való az egész bíbelődés. A program írása esetén ez a kérdés fel sem merülhet, hiszen az átgondolás okát a program helyes futásának biztosítása szolgáltatja.
Az órán alkalmazható programozáshoz viszont fontos lenne egy olyan, szinte minden elérhető számítógépen futó programnyelvet találni, amely tudja az ilyen apró programok megírásához szükséges legalapvetőbb utasításokat - az adatok bevitelét, az elágazásokat, a matematikai műveleteket és függvényeket, a végeredmények kiírását -, valamint könnyen elsajátítható, tanulható. Persze az sem árt, ha a program szerkezete könnyen áttekinthető. Az MS Excel táblázatai, és a táblázatokban lévő cellák közötti kapcsolat olyan, hogy a felsorolt előnyökkel mind rendelkezik. Tekintsünk meg néhány példát!

A háromszögek kerülete, területe

Az első példa szinte minden tanulói korcsoport számára érthető, egy háromszög három oldalának ismeretében kell meghatározni a háromszög kerületét és területét. A kerületre vonatkozó megoldást szinte minden tanuló azonnal rávágja: az oldalak hosszát össze kell adni. Csakhogy nem biztos, hogy a három megadott hossz háromszöget alkot, s ebben az esetben az összeg egy nem létező háromszög kerületét adná meg, ami nyilván nem helyes. Így a megoldásban a bemenő adatokon a háromszög-egyenlőtlenségek teljesülését is ellenőrizni kell.
Az ábrán a feladat egy lehetséges megoldása látható.

Az A1 cellába a feladat szövegét írtam, hiszen ha akár több év múlva is fel szeretném használni a táblát, akkor tudnom kell, milyen feladatot oldottam meg vele, s az órai demonstráció során az elkalandozó figyelmű gyerekek is elolvashatják, anélkül szerezve tudomást arról, hogy miről van szó, hogy kérdéseikkel megzavarnák az órát.
A B5, B6, B7 cellába írhatjuk be az oldalak hosszát. (A később tárgyalt cellavédelemmel elérhető, hogy csak ezekbe a cellákba lehessen adatokat bevinni.) A beviteli cellákat ezentúl mindig sárgára fogom színezni. A cellák előtt piros betűvel olvasható, hogy éppen melyik háromszögoldalra vonatkozik az adott adat.

A három háromszög-egyenlőtlenség ellenőrzése a G5, G6 és G7 cellában történik. Ha teljesül, akkor 1 az érték, ha nem akkor 0. Az F5-7 cellákban a "teljesül" vagy "nem teljesül" felirat csak a diákok számára teszi szemléletessé az eredményt. A cellák tartalma:


G5 =HA($B$5<($B$6+$B$7);1;0)
G6 =HA($B$6<($B$5+$B$7);1;0)
G7 =HA($B$7<($B$5+$B$6);1;0)
F5 =HA(G5=1;"teljesül";"nem teljesül")
F6 =HA(G6=1;"teljesül";"nem teljesül")

Az elágazást a HA(feltétel; igaz ág; hamis ág) függvénnyel valósítható meg. A feltételt a beviteli cellákra vonatkozó abszolút hivatkozással ($ jel használatával) írtam le. Pl. a $B$5<($B$6+$B$7) kifejezés jelentése, hogy a B6 cella tartalma kisebb, mint a B6 és B7 összege. Ha ez teljesül, akkor a G5 cella értéke 1 lesz, ellenkező esetben pedig 0. A G6 és G7 cella tartalma hasonlóan megadható. A feladat megoldásához közvetlenül nem tartozó, de jelzés értékű F5 cella tartalma "teljesül", ha a G5 cella tartalma 1, ellenkező esetben pedig "nem teljesül".
A megadott három adat egy háromszöget határoz meg, ha mind a három egyenlőtlenség teljesül. Érdemes a három feltételt együtt kiértékelni egy cellába, mivel egyszerűbb és áttekinthetőbb egy cella értékére hivatkozni, mint hosszú feltételeket többször begépelni, az összes hibázási lehetőségükkel együtt. A háromszög szerkeszthetőségét mutatja a G8-as cella:
G8 =HA((G5=1)*(G6=1)*(G7=1);1;0)
F8 =HA(G8=1;"van háromszög";"nincs háromszög")

A feltételben lévő (G5=1)*(G6=1)*(G7=1) kifejezésben a "*"szorzásjel a logikai és-nek felel meg. Az F8 cella tartalma most is csak tájékoztatás jellegű.
Végül a megoldás kiírása a D11-es cellába a G8 cella függvénye. Ha G8=1, akkor a megoldás az oldalak összege, ellenkező esetben kiírja, hogy "Nincs háromszög".
A Heron-képlet ismeretében szinte önmagától értetődik, hogy a kerülettel együtt a területet is meghatározzuk, ehhez viszont a fél kerületre is szükség van. Igazodva a korábban megfogalmazódott állításhoz, hogy érdemes a részeredményeket cellákba kiszámolni, így a fél kerületet a D12-ben határozzuk meg, majd a rá való hivatkozással a D13-ban a háromszög létezése esetén a terület értéke, vagy a "nincs terület" megállapítás jelenik meg. A kimenetelt mutató cellák hátterét kék színűre festem. A színek következetes használatával elérhető a munkalapokon való gyors tájékozódás.

D11 =HA(G8=1;$B$5+$B$6+$B$7;"Nincs kerület")
D12 =HA(G8=1;D11/2;"Nincs fél kerület")
D13 =HA(G8=1;GYÖK(D12*(D12-$B$5)*(D12-$B$6)*(D12-$B$7));"Nincs terület")

A létrehozott példa alkalmazása az oktatásban

Joggal merülhet fel a kérdés, hogyan alkalmazhatjuk a létrehozott példát az órán? Az egyik lehetőség, hogy projektorral kivetítjük a feladatot tartalmazó Excel táblát, és a tanulókat arra bíztatjuk, hogy adjanak meg különböző szánhármasokat: olyanokat, amelyek teljesítik a háromszög-egyenlőtlenségeket és olyanokat, amelyek nem. A megadott számhármasok beírásával gyorsan leellenőrizhetjük a megoldást. Számolási versenyt hirdethetünk a gép és a tanulók között, például amíg a tanár lassan beírja az adatokat, addig a tanulók gyorsan kiszámolják a megoldást.
Persze egyetlen feladatlap miatt még nem feltétlen érdemes a kivetítő rendszert felépíteni, de sok paraméteres probléma megoldása esetén már igen, hiszen egyetlen lapozással új és új feladatok kerülhetnek a diákok elé.
A demonstráció melletti másik felhasználási lehetőség, hogy a tanulók otthon, számítástechnika órán házi vagy szorgalmi feladatként megírják ezeket a programokat. A jól sikerült munkák aztán órán bemutatásra kerülhetnek. Az is igen kellemes megoldás lehet, ha a matematika órát a számítástechnika teremben sikerül tartani, ekkor feladatokat a matematika tanár irányításával és útmutatásával végezhetik el a tanulók.

Magyarázatok a mellékelt példákhoz

A matex01.xls munkafüzetben létrehozott példák ötleteket igyekeznek szolgáltatni a matematikaórákhoz. (Kattintással elérhető!)

1. A Háromszög-kerület munkalap már alapos tárgyalás alá esett. Az ábra arra mutat példát, hogy a megadott oldalértékekből nem szerkeszthető háromszög.
2. A Háromszög-szögek munkalap arra mutat példát, hogy a három oldal segítségével hogyan határozhatjuk meg a háromszög három szögét. A háromszög létezése esetén a feladat a cosinustétellel oldható meg. A cosinus érték ismeretében a szöget az ARCCOS(szám) függvénnyel számoljuk ki. Az Excel a szöget ívmértékben adja meg, amelyet érdemes a tanulók számára fokra átváltani.
3. A Paraméteres egyenletek munkalap középiskolában használt "Sárga" Matematika feladatgyűjtemény I.-ből mutat be két paraméteres feladatot. Itt a feltételek egymásba ágyazottsága elrejti a tanulók elől az eseteket, így maguknak kell azokat kitalálniuk. 4. A Forgáskúp munkalap a Függvénytáblázat felszín- és térfogatképletek gyűjteményéből ragadott ki egy részletet. A forgáskúp alapkörének sugarából és magasságából kell meghatározni a felszínét és térfogatát. Az újdonság csak annyi a korábbi példákhoz képest, hogy a bemenő adatokat előjelük szerint is elemzi.

A cellák védelme

Végül az Excel egy nagyon egyszerű, de praktikus szolgáltatására hívnám fel a figyelmet. A munkalapok véletlen vagy szándékos átírás elleni védelemmel láthatók el. Győződjünk meg arról, hogy a munkalapunk jól működik-e, akarunk-e még változtatni rajta. Ha már végleges formát öltött, akkor jelöljük ki a beviteli cellákat, majd jobb egérgombbal kattintsunk rájuk. A megjelenő helyi menüből válasszuk ki a cellatulajdonság menüpontot. A védelem lapra kattintva szüntessük a zárolt állapotot. A megadott állapotot "okézzuk le". Az Eszközök menüpontban a Védelem almenüpont Lapvédelem utasításának bekapcsolása után a zárolt tulajdonsággal rendelkező cellákba nem lehet írni. Mivel alapértelmezésben a munkalap összes cellája zárolt, így a lap védelmének bekapcsolása után csak a zárolás alól feloldott beviteli cellákba lehet csak írni. A lap védelmének feloldása ugyanott, tehát az Eszközök menüpont Védelem almenüpont Lapvédelem feloldása utasítással lehetséges. A jelszó megadása nem kötelező, ha megadtuk, akkor csak a beírása után tudjuk a védelmet feloldani.
A mellékelt munkalapokat jelszó nélküli védelemmel láttam el, így csak a sárga színű beviteli mezőkre írhatunk.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten