Korom Pál: Az összetett és szakadásos függvények tanítása az Excel segítségével
Tarcsay Tamás
2003/04/28 13:17
2281 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Folytatjuk az Excel program matematikaórákon való felhasználhatóságáról szóló sorozatunkat. Most ismét függvényekről lesz szó. A cikkhez tartozó Excel munkafüzet innen letölthető.

A cikkben szereplő animációk itt megnézhetők, és letölthetők:

1. animáció letöltése

2. animáció letöltése

3. animáció letöltése

4. animáció letöltése

6. animáció letöltése

Bevezetés

A korábbi függvényábrázolási példákban folytonos értelmezési tartományú és azonos hozzárendelés-szabályú függvényeket tanulmányoztunk. A cikk első részében az összetett függvények, a második részében pedig a szakadási helyek ábrázolásának egyszerű lehetőségeire nézünk példákat.

Összetett függvények:

A függvények tanításának elhanyagolt területe az intervallumonként különböző hozzárendelési szabállyal megadott függvények tanítása. (Ebben a cikkben - eltérve a szokásos meghatározástól - az egyszerűbb fogalmazás miatt az ilyen függvényeket össztett függvényeknek fogjuk nevezni.) Pedig az értelmezési tartomány részekre bontását a matematikában oly sokszor használjuk, például az egyenlőtlenségek megoldásánál, a matematikai kifejezések értelmezési tartományának meghatározásánál, a függvények tulajdonságainak (monotonitás, konvexitás, stb.) érvényességi tartományának meghatározásánál.

Érdemes az összetett függvény tanítását két egymáshoz kapcsolódó félegyenessel kezdeni. Az ábrán látható grafikont a következőképpen hoztuk létre. Az egyenest egy pontja és a meredeksége egyértelműen meghatározza. A közös metszéspont (metszéspont x; metszéspont y) egyszerre határozza meg a két félegyenest. Eltérő lehet a két meredekség (m1, m2). E négy adat megadásával már ábrázolhatjuk a töröttvonal-grafikont.
Az x1-nél kisebb értékekhez tartozó egyenes egyenlete: y=m1(x-x1)+y1; a nagyobb értékekhez tartozó: y=m2(x-x1)+y1. Az értelmezési tartományt a HA(x<=x1; m1(x-x1)+y1; m2(x-x1)+y1) excelfüggvény argumentumának logikai vizsgálat részében figyeljük. Az értékkészletet előállító kifejezések kerülnek az argumentum igaz és hamis ágába. (Az ábrák előállításához használt kifejezés: =HA(C8<$E$2;$E$4*(C8-$E$2)+$E$3;$E$5*(C8-$E$2)+$E$3), hol C8-ban tároljuk a változó x értéket, a "$" jelekkel ellátott cellákban pedig a négy paramétert.)

Néhány fontos gondolat:

A relatív és abszolút címzéssel ellátott kifejezés lehúzásával tetszőleges grafikonpont előállítható. A Pont (XY) grafikon típusból a simítás nélkülit érdemes választani, mert a simításos típussal a töréspont elgömbölyödik.
Két érdekes eset: az abszolútérték-függvény azonos nagyságú, de ellentétes előjelű meredekséggel rendelkező félegyenesek, valamint a megegyező meredekség pont egy egyenessé forrasztja a félegyeneseket. A példával jól gyakoroltatható az értelmezési tartomány és értékkészlet felismerése is.

Töröttvonal:

A egyenes szakaszokból álló grafikon ábrázolásánál a törési pontoknak elsődleges szerepe van. Az első szakasz indulópontjából és meredekségéből kiszámolható a végpontjához tartozó ordináta. Ekkor a következő szakasz indulópontja és meredeksége meghatározza a szakaszláncolat következő pontját. Az ábrán látható példában 5 szakaszt állíthatunk be. Ez a szakaszok számának maximumát jelenti. A törési pontok abszcisszájának egybeejtésével a szakaszok száma csökkenthető.

A töröttvonal-rajzoló gyakorlati alkalmazására néhány példa:

1. Olvassák le a tanulók a szakaszok értelmezési tartományait!
2. Olvassák le a szakaszok értékkészletét!
3. Határozzák meg a szakaszok egyenleteit!
4. Fizikaoktatásban a töröttvonal egy test hely-idő grafikonját rajzolja ki. Ábrázolják a tanulók az út-idő grafikont!

Feldobott kő:

Az összetett függvényre életbeli példa a feldobott kő út-idő függvénye: y=-g/2*t*t+v0*t (ahol az y a magasság, g a nehézségi gyorsulás, v0 a kezdeti sebesség, t az idő). Az út-idő függvény csak monoton növő lehet, a megtett utat nem lehet meg nem tetté tenni. Amíg a mozgás során a helykoordináta növekszik, addig a hely-idő és az út-idő grafikon egybeesik. Az emelkedés ideje: t1=v0/g. A kő visszaesésekor a helykoordináta csökken, viszont az út-idő függvény megváltozik, összetett függvénnyé válik, a grafikonja, mint az ábrán látható, felfelé fordul.

A függvény: y=-g/2*t*t+v0*t, ha 0<=t< t1 vagy y=g/2*(t- v0/g)2+v0*v0/2*g, ha t1<=t<= 2t1.

Függvények szakadási helyei

Színbe burkolt sorozatok:

A szakadásos függvények egyik csoportját képezik a számsorozatok. Csak a pozitív egész számokhoz tartozik egy valós függvényérték. Az ábrázolásukhoz a Pont(XY) csak pontábrázolás grafikontípust érdemes választani. A pontok alakját, színét, kitöltöttségét és nagyságát külön-külön be lehet állítani. Az ábrán három sorozat grafikonja látható, az an=1,5n-8 sorozaté a kék négyszög, a bn=5-10/n sorozaté a zöld háromszög, a cn, váltakozó előjelű, 7 abszolutértékű sorozaté a sárga üres karika árnyékolással.

Nem semmi szakadás

A reciprok függvény nullánál nincs értelmezve.

A nullával való osztás kísérleténél a cellában a #DIV/0! hibaüzenet jelenik meg. Tehát a cella tartalma egy cellahiba érték lett. Ha egy cella nem üres, akkor az Excel mindenképpen értelmezi, nulla értéknek veszi, még akkor is, ha egy nem numerikus szövet tartalmaz.

(Az üres cella esetén az Eszközök/Egyebek utasításban beállíthatjuk mi történjen. Vagy kimarad a pont ábrázolása, vagy nulla értéket, vagy interpolációval köztes értéket kap és folytonossá válik a függvény.)

Egyedül csak az üres cella szakíthatja meg a grafikon folytonosságát! A szakadási hely az Excelben nem semmi! A hibakezelés és a beépített konverziók következtében általában szakadási helyhez a 0 érték tartozik és ábrázolódik.

(Idáig egyszerű és gyors volt a függvény rajzolása, mivel a függvény grafikonját meghatározó értelmezési tartománybeli és értékkészletbeli értékpárjait az Excel hivatkozásaival, képleteivel tetszőleges számban gyorsan elő tudtuk állítani. A paraméterek, kezdeti értékek megváltoztatásával mind az értékpárok adatai, mind a hozzájuk kapcsolódó grafikonok képei automatikusan megváltoztak. Tehát nem kellett manuálisan beavatkozni az adatsorok átállításába, vagy nem kellett eljárásokat, függvényeket programozni, illetve makrókat készíteni. A szakadás ábrázolásánál sajnos ezen előnyök valamelyikéről le kell mondani.)

Racionális törtfüggvények

A racionális törtfüggvények nem értelmezhetők azokon a helyeken, ahol a nevező értéke nulla, ezeken a helyeken megszakad a függvény. Amennyiben az értelmezési tartomány sorozata tartalmazza ezeket a kényes helyeket, úgy a program hibaüzenetet küld. A hibaüzenet grafikonnál nullává konvertálódik, nem szakad el a grafikon két részre. A hibaüzenetet kitörölve a cella üressé válik, a grafikon elszakad. A mellette lévő cellába viszont írjunk nulla értéket! Az így előállított oszlop is függvényként fogható fel, csak ennek a jelölői üres karikák legyenek. Így állítottuk elő az ábrán látható grafikon képét is.

A fakultációt végző tanulók számára érdekes eset lehet a y=(x-a)/(x-b)(x-c) függvény tanulmányozása.
E függvény értelmezési tartományának megadásához nem szerencsés az egyenletes felosztás, mivel a szakadási helyek közelében az érintők meredekségének abszolútértéke nagyon nagy lehet, tehát a beosztás mértékéhez képest ábrázolhatatlanul nagy függvényérték-változás tartozhat. E függvénymenet érzékeltetéséhez szerencsésebb olyan felosztás, amely a értelmetlen helyhez sűrűsödve tart.

A matex04.xls munkafüzethez tartozó Ractörtfüggvény munkalapban az értelmezési tartományt négy pontja határozza meg. A két intervallumhatároló [x1,x2], a két szakadási hely: b és c. A konkrét példában felvettünk egy ötödik pontot is x3=(b+c)/2. Ezzel csupa félig zárt félig nyílt intervallumot [x',d) kaptunk. Az alkalmazott felosztás: xi=d-(d-x')/i (1<=i<=n). A felosztás felveszi a x' helyet, sűrűsödve közelít d-.hez, de nem veszi fel.
A szakadási hely grafikonon való szemléltetéséhez, természetesen az előbb tárgyalt segédoszlopot alkalmaztuk.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek