Korom Pál: Sorozatok tanítása az Excel segítségével
Tarcsay Tamás
2003/02/21 08:00
2939 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

Folytatódik a néhány héttel ezelőtt indult sorozatunk.
Ebből a cikkből megtudhatjuk, hogyan lehet egyetlen egérhúzással egy sorozat akár több száz elemét előállítani, valamint ez a képesség milyen lehetőségeket rejt a sorozatok tanításában.

Először a számtani sorozat megadásának az Excelbe beépített lehetőségeit tárgyaljuk, majd ezen lehetőséget kiaknázva a képlettel megadott sorozatok elemeivel töltjük meg a cellákat. A nagyszámú kezdő sorozatelemek ismeretében megtippeltethetjük a tanulókkal a sorozatok tulajdonságait. Átnézzük, hogyan lehet egy sorozat első n elemét gyorsan összeadni, vagy átlagát képezni, és végül a rekurzív sorozatok előállítására láthatunk példákat.

Számtani sorozat véges elemének egyszerű bevitele

Két módszert tekintünk át a számtani sorozat bevitelére. Az első az Excel program által kínált triviális lehetőség.

A számtani sorozat első két eleme egyértelműen meghatározza a sorozatot. Ha megadjuk az egymást követő cellában a sorozat első két elemét, és együtt jelöljük ki őket, akkor a program felismeri azon szándékunkat, hogy számtani sorozatot szeretnénk megadni. A többi elem értékének előhívásához már csak a kitöltőfület kell az egérrel megragadni és lehúzni. Ekkor, gyakorlatilag tetszőleges számú eleme jelenik meg a sorozatnak.

Az ábra a bevitel fázisait mutatja. Jól látható, hogy a sorozat előállításának egyes lépéseit az egérmutató megváltozásai nagyon jól jelzik. A kijelölés állapotú egérmutatóval (fehér kereszt) kijelöljük az első két elemet. A kitöltőfül fölé visszük az egérmutatót, ekkor az alakja megváltozik, vékony kereszt lesz. Ha most az egér bal gombjának nyomvatartása mellett lehúzzuk a fület, akkor a kijelölt cellákban szép sorban megjelennek a sorozatelemek. A számtani sorozatok megadásának másik módját a következő rész mutatja be.

Képlettel megadott sorozatok bevitele

Egy tetszőleges sorozat elemeinek sorszámát megadó sorozat szintén számtani sorozat, a pozitív egész számok egytől induló sorozata. Az ábrán látható sorozatok esetén a C2 és C3 cellába vittem be az 1 és 2 elemeket, majd az előző részben leírt módon előállt az első nyolc elem sorszáma. Ezekre az értékekre lehet relatív módon hivatkozni a sorozatok képletekkel való megadásával. A D oszlopban a számtani sorozat, az E-ben a mértani sorozat, valamint az F-ben egy eltérő sorozat általános képletét adtam meg:

D2=$B$2+(C2-1)*$B$3
E2=$B$5*HATVÁNY($B$6;C2)
F2=$B$8+$B$9*(C2-1)*(C2-1)

Az első képlet beírása után az összes többit a kitöltőfül lehúzásával kaphatjuk meg. Ekkor nem kell az első két cellát kijelölni, elegendő az elsőt, hiszen már nem kell számtani sorozatot felismernie a programnak, elegendő a cellát másolnia.
A relatív hivatkozás miatt minden cellában a jó sorszámot veszi figyelembe a program a számoláshoz. A változtatható paraméterek (a1, d, b1, q, stb.) értékeire viszont abszolút módon kell hivatkozni.

Az előkészített Excel táblázat segítségével a sorozatok bevezetésének tanítása leegyszerűsödik.
A "Mi az első tíz eleme a sorozatnak?", "Mi a huszadik, negyvenötödik, századik eleme a sorozatnak?", "Eleme-e a 35 a sorozatnak?" típusú kérdésekre a sorozat paramétereinek megadása és a kitöltőfül lehúzása után gyorsan megjelenik a válasz, a tanulók számításai szemléletesen ellenőrizhetők.
Az "eleme-e a sorozatnak az adott szám" típusú kérdés eldöntése felveti azt a kérdést, hogy meddig kell a sorozat elemeit előállítani, vajon van-e olyan elem, amely után már nem lehet a sorozatnak eleme az adott szám? De ez a kérdés már átvezet a "sorozatok tulajdonságai" témakör tárgyalásához.

A sorozatok tulajdonságainak tanítása

A sorozat-tulajdonságok tárgyalásának igen komoly korlátja a sorozatelemek értékeinek kiszámolása. Hiszen a sorozat monotonitásának, oszcillációjának, határértékének, pozitivitásának, korlátosságának megbecsüléséhez legalább az első öt-hat elemet ki kell számolni. Ezt a pár elemet az Excel a kitöltőfül lehúzása után a tanulóknál lényegesen rövidebb idő alatt kiszámolja (de észrevehetetlen az időkülönbség akár több száz elem kiszámolása esetén is). Ha didaktikailag szükséges, és a számolási pontosság engedi, akár több ezer elemet is kiszámolhatunk néhány másodperc alatt.
A számtani sorozat esetében a különbségi állandó monotonitásra való hatását érdemes vizsgálni. Ha pozitív, akkor a sorozat szigorúan monoton nő, akármilyen kicsi állandó esetén is a sorozat a pozitív végtelenbe tart. Negatív állandó esetén a szigorúan csökkenő sorozat, a mínusz végtelenbe tart. Izgalmas az állandó nulla értéke esetén előálló konstans sorozat vizsgálata is.

A mértani sorozat hányadosának előjele és nagysága egyaránt befolyásolja a sorozat tulajdonságait. A pozitív egynél nagyobb hányados esetén a szigorúan monoton növő sorozat végtelenbe tart. Az 1 értékkel rendelkező hányados esetén konstans sorozatot kapunk. Az egynél kisebb pozitív hányados esetén a sorozat nullához tart. A hányados nulla értéke esetén a szintén konstans a sorozat. (Az ábrán látható, hogy az első elem nincs értelmezve, valamint a mértani sorozat klasszikus definíciója nem értelmezhető, ezért egyszerűbb, indokolt, a q=0 esetet kizárni.) Negatív hányados esetén a sorozat oszcillál, de azért -1-nél nagyobb hányadosnál szintén nulla a határérték. -1-nél oszcillál a sorozat de azért korlátos marad, 1-nél kisebb hányadosnál oszcillálva divergens a sorozat.

Természetesen bármely másik sorozat tulajdonságai is tanulmányozhatók a fent leírt módszerrel.
(A mellékelt matex02.xls munkafüzet az Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából 3478-as feladatának sorozatait mutatja meg.)

A sorozat első n elemének összege és átlaga

A sorozat elemeinek összegét kiszámolja az Excel SZUM függvénye. A függvény argumentumának megfelelő megadásával nem csak az első n elem összegét, hanem valamely középső elemcsoport összegét is meg lehet határozni. Az ábrán a kék színű mezők értéke mutatja az összeget. Például az F oszlopban a =SZUM(F2:F8) képlet számolta ki az összeget. A példában jól látszódik, hogy az összefüggő tartományt a kettősponttal elválasztott bal felső és jobb alsó cellára hivatkozással adhatjuk meg. Látványosan gyorsan lehet összeadni a sorozat elemeit az Autoszum ikon (alapértelmezésben a Szokásos eszköztáron a görög ábécé nagy szigma betűjét jelöli) alkalmazásával. A sorozat lehúzással történő előállítása és a sorozat alatti cella kijelölése után az ikonra kattintva a program magától beírja a cellába a számunkra fontos összefüggést, a cella feletti sorozatelemek összegét. Nem marad számunkra más feladat, mint elfogadni a felajánlást az ENTER gomb megnyomásával. Ekkor a cellában az áhított eredmény jelenik meg.

A SZUM függvény helyett ÁTLAG függvényt használva megkapjuk a sorozat számtani közepét. Az ÁTLAG függvény argumentumát a SZUM függvényhez hasonló módon határozhatjuk meg. Az ábrán a ciklámen színű mezők tartalmazzák az oszlopban lévő sorozat elemek átlagát (számtani közepét). Az ábra szemléltetésével a tanulók felfedezhetik azt az egyszerű tényt, hogy páratlan elemszám esetén a számtani sorozat elemeinek átlaga pont a középső elem, míg páros számok esetén a két középső elem átlaga. A mellékelt matex02.xls munkafüzet Sorozatösszeg munkalapján a sorozat paraméterei változtathatók, így sok más számtani sorozatra is használható a táblázat.

Rekurzív sorozatok

Az Excel cellára vonatkozó relatív hivatkozása lehetőséget ad a sorozatok egy másik típusának, a rekurzív sorozatok tanítására is. Ekkor az egyes elemek előállításánál nem a sorszámot tartalmazó cellákra hivatkozunk, hanem a sorozat korábbi elemeire. Ezt megtehetjük, mivel a lehúzáskor az Excel a cellák értékeit fentről lefelé sorrendben számolja ki. Ha a fenti cellára hivatkozunk, akkor annak az értéke már ki van számolva. Nézzünk egy-két példát!
Az első példában az első n négyzetszám összegét határozzuk meg rekurzív módon. Az összegsorozat (Sn) első eleme 1, mivel ez az első négyzetszám (S1=1). Az összeg sorozat többi elemét úgy határozhatjuk meg, hogy az előző összegsorozat elemhez, hozzáadjuk a sorszám négyzetét, egyszerűen: Sn=Sn-1+n2. Az sorozat az ábra B oszlopában található:

B2 1
B3 =B2+A3*A3

B2-es cella tartalmazza az összegsorozat első elemét. A B3 cellában relatív módon hivatkozunk erre a cellára, mint az előző összegsorozat elemre, majd szintén relatív módon hivatkozunk az A3 cellában lévő aktuális sorszám értékre. A kitöltőfüllel csak a B3 cella tartalmát másoljuk le húzással!
A következő példánk a rekurzióra, egy nem lineáris rekurzió, a gyökvonás algoritmusa: xn+1=1/2(xn+x1/xn). A sorozat első eleme az a pozitív szám amelyből gyököt szeretnénk vonni. Jelen esetben x1=2. Ezt az értéket természetesen megváltoztathatjuk, ekkor az új szám négyzetgyöke jelenik meg az oszlop utolsó kitöltött cellájában. Példánkban a C oszlopban helyezkedik el a gyökvonás algoritmusa:

C2 2
C3 =0,5*(C2+$C$2/C2)

A C+ cellában a relatív módon hivatkozunk a cella feletti cellára, és abszolút módon a C2 cella tartalmára, mivel ebből az értékből szeretnénk négyzetgyököt vonni. Szépen látszódik az ábrán az algoritmus nagy sebessége, hogy 14 tizedes pontosság mellett, már az ötödik lépésben megjelenik a pontos érték.
A harmadik példa a Fibonacci-sorozat alapesete: an+2=an+an+1. Az első két elem 1, majd a következő elem értéke két előző elem összege. Az ábrán látható D oszlopban jelennek meg ezen összegek:

D2 1
D3 1
D4 =D2+D3

A D2 és D3 cella tartalmazza a sorozat első két elemét. Ezen értékek változtatása új sorozatokat eredményez. Muszáj leírnom, hogy a D4-es cella tartalmának egyszerűsége, milyen szépen fejezi ki az Excel egyszerűségét és praktikusságát. Tehát némi gyönyörködés után a sorozat többi elemének megkapásához csak a kijelölt D4-es cella jelölőfülét húzzuk le!

Magyarázatok mellékelt példákhoz

Az ábrák egy részét, a megtárgyalt sorozatok, valamint egyéb ötleteket és órán alkalmazható munkalapokat tartalmazza a mellékelt matex02.xls Excel munkafüzet.

A 3478 munkalap az Összefoglaló matematikai feladatgyűjtemény matematikából 3478-as feladatának sorozatinak első elemeit jeleníti meg. A sorozatok, akár egyszerre történő, kijelölése után a kitöltőfűl lehúzásával a sorozatok tovább folytathatók.

A Mértani-sorok munkalap az 1 kezdőelemű mértani sorozatok tulajdonságának hányados függőségét szemlélteti. Az oszlopokban elhelyezkedő sorozatok hányados értéke az oszlopok első sorában megváltoztatható, és természetesen a sorozatok lehúzással tovább folytathatók. Vigyázni kell, hogy az A oszlopban lévő sorozatszámok is kellő számban képviseljék magukat!

A Sorozat-tulajdonságok, a Sorozatösszeg, és a Rekurzív-sorozatok munkalapok leírása a megfelelő fejezetekben elolvashatók.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek