Közepekkel megoldható feladatok
Tarcsay Tamás
2006/03/23 08:00
1135 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Az emelt szintű érettségi vizsga tételei között szerepel egy, ami nevezetes közepekkel foglalkozik. Ehhez kapcsolódva néhány ideillő feladatot jelentetünk meg. A témának egyéb aktualitása is van.

1.

Igazoljuk, hogy az azonos térfogatú négyzetes oszlopok között a kocka felszíne a minimális.

Középiskolai tanár számára szinte természetes, hogy a ilyen szélsőérték-probléma esetén a közepek környékén kezd el keresgélni, így született meg a következő megoldás:

Legyen a négyzetes oszlop alapéle: x, a négyzetes oszlop magassága: y, és a vele egyenlő térfogatú kocka éle: a

Ekkor a térfogat állandósága miatt igaz, hogy A négyzetes oszlop felszíne: A számtani és mértani közép közötti egyenlőséget használtuk három tag esetére.

A megoldás kapcsán kisebb polémia bontakozott ki a közepek alkalmazhatóságával kapcsolatosan. Az itt közreadott feladatsor egy ott tett ígéret megvalósítása.

2.

Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszög bármely belső szögfelezőjének háromszögbe eső szakasza kisebb, mint az őt közrefogó oldalak harmonikus közepe!

3.

Mutassuk meg, hogy bármely 1-nél nagyobb, egész n esetén igaz, hogy

4.

Adjuk meg a következő kifejezés minimumát, ha a, b és c valós számokat jelölnek!

5.

Tudjuk, hogy a és b olyan nemnegatív valós számok, melyekre a + b = 1. Adjuk meg a következő kifejezés minimumát!

6.

Igazoljuk, hogy ha a, b és c pozitív valós számok, akkor

7.

A briliáns ára arányos a tömege négyzetével. Bizonyítsuk be, hogy a) a briliáns értéke csökken, ha darabokra vágjuk! b) ha n részre vágjuk a briliánst, az értéke akkor a legkisebb, ha a darabok tömege egyenlő!

Linkek

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek