Különleges bűvös négyzetek
2003/10/03 22:50
2487 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Sorozatunkat néhány különleges, a bűvös négyzetekhez kapcsolódó probléma ismertetésével zárjuk, de szívesen megjelentetünk a témához kapcsolódó hozzászólást és feladatot.

A harmad- és negyedrendű bűvös négyzetekről szóló írásunk végén felvetettünk két érdekes problémát, amelyeknek azóta már a megoldása is megjelent. Ezek nem a definíció szerint vett bűvös négyzetek, de mégis kapcsolódnak a témakörhöz. Hasonló - nem a szigorúan a definíció szerinti értelemben vett - bűvös négyzetekkel zárjuk a sorozatunkat.

1.

Írjuk a 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512 számokat egy 3x3-as bűvös négyzetbe úgy, hogy minden sorban, minden oszlopban és a két átlóban levő számok szorzata egyenlő legyen!

Vegyük észre, hogy a megadott számok a 2-nek az 1; 2; ... 9 hatványai, így a megoldása az azonos alapú hatványok szorzására vonatkozó szabály miatt a LO-SU-féle bűvös négyzetre vezethető vissza. (1. ábra)
1. ábra

A bűvös négyzet mintájára definiálhatjuk a mágikus kockát is, ami nem más, mint egy "háromdimenziós bűvös négyzet". A bűvös kocka elnevezést itt célszerű mellőzni, mert ezen a néven a világ talán egyik legszellemesebb találmánya, a Rubik-kocka értendő.
(Megjegyzendő, hogy már elkészült a négydimenziós Rubik-kocka is!)

Az n-ed rendű mágikus kocka olyan kocka, amely nxnxn számkockából áll, és bármelyik élével párhuzamos oszlopában és a négy testátlóban lévő számkockák összege megegyezik.

A fenti definícióból nyilvánvalóan következik, hogy az n-ed rendű mágikus kockát alkotó, az oldallapok síkjával párhuzamos rétegek bűvös négyzeteket alkotnak.

2.

Létezik-e a fenti definíciónak megfelelő mágikus kocka?

A válasz természetesen igen, amelyet az alábbiakban megpróbálunk szemléltetni. A példát az 1943-ban megjelent

Walter Sperling: Ha okos vagy, törd a fejed című könyvből vettük. Némi szépséghibája a kiadványnak, hogy nem nevezi meg a bemutatott példa kieszelőjét.

A könyvben megadott 4x4x4-es mágikus kockába az 1; 2; ... 64 számokat írjuk be, ezek összege 65*64/2. Ha figyelembe vesszük, hogy bármelyik éllel párhuzamosan 16 darab - négy számkockából álló - oszlop van, így egy számnégyes összege az előbb számított összeg tizenhatod része, azaz 130.

A 2. ábrán látható "rétegek" nem teljesen bűvös négyzetek, mert az átlóikban található számkockák összege nem 130, de számolással könnyen meggyőződhetünk arról, hogy az egymás mellet, illetve egymás alatt levő kockák összege 130.

Kissé nehezebb az egymás előtti számkockák összegzése, ezt próbáltam néhány oszlop színezésével megkönnyíteni.
2. ábra

Vizsgáljuk meg a testátlókat is:

  • 1+43+22+64 = 130;
  • 49+27+38+16 = 130;
  • 4+42+23+61 = 130 és
  • 52+26+39+13 = 130,

azaz valóban a fenti definíciónak megfelelő mágikus kockáról van szó.
A 3. ábrán látható a mágikus kocka három oldallapja. 3. ábra

Befejezésül egy igen szórakoztató feladat nagyon nehéz változatát mutatom be - a már fent említett Walter Sperling könyv alapján. A nehézségét azok az olvasók fogják igazán átlátni, akik már próbálták a sakktáblát lóugrással úgy bejárni, hogy minden mezőre lépjenek, de mindegyikre pontosan egyszer.

A 4. ábrán látható megoldás EULER nevéhez fűződik: a feladat szerint a bejárásnak zárnak kell lenni (a 64. mezőről lóugrással az 1. mezőre lehessen lépni) úgy, hogy előbb csak a sakktábla egyik felét szabad bejárni. 4. ábra

3.

Járjuk be a sakktáblát lóugrással úgy, hogy minden mezőre lépjünk, mindegyikre pontosan egyszer lépjünk, és a lépések sorszámát összeadva soronként és oszloponként ugyanazt az összeget kapjuk!

Az 5. ábrán található megoldás egy WENZELIDER nevű morva hivatalnoktól származik, és külön érdekessége, hogy a bejárás zárt. Olyan megoldást azonban még neki sem sikerült találnia, amelyben az átlókra is ugyanaz az összeg - 260 jönne ki -, ezt az olvasóra bízzuk, de nagyon szívesen közreadnánk több ilyen megoldást is.
5. ábra

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek