Különleges bűvös négyzetek - még egyszer
2004/08/20 08:00
2818 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A 2004. évi Rátz László Vándorgyűlés egyik előadásán több olyan érdekességről is szó volt, amely az elmúlt nyáron a bűvös négyzetekről készült sorozatunkból kimaradt, például ördögkeret vagy prímszámokból készített bűvös négyzet...

A felső tagozatos szekció egyik előadója, Kiss Sándor témájának a bűvös négyzeteket választotta. Az előadás nemcsak azért érdekelt, mert szívesen foglalkozom órán és szakkörön is bűvös négyzetekkel, hanem a Közös nevezőnk a MATEMATIKA (2001) című, sajnos, gyakorlatilag beszerezhetetlen könyvben találkoztam a Tanár Úr egyik idevonatkozó cikkével.

Prímszámokból álló bűvös négyzetek

Olyan bűvös négyzet, amelyekben csak prímszámok szerepelnek. Prímszámokból álló bűvös négyzet Tágabb értelmezés szerint megengedhetjük az 1 használatát is, de ekkor pontosabb a nem összetett természetes számokból álló bűvös négyzet elnevezés. Nem összetett számokból álló bűvös négyzet
Lényegesen nehezebb olyan prímszámokból álló bűvös négyzetet készíteni, amely prímek egy számtani sorozatot alkotnak. Bizonyítható (megtalálható az említett könyv 90. oldalán), hogy ha egy harmadrendű, csak prímszámokból álló bűvös négyzetben levő számok egy számtani sorozat tagjai, akkor a sorozat differenciája osztható 210-zel.

Megfelelő p prímszám esetén egy lehetséges elrendezés: Számtani sorozatot alkotó prímek Léteznek 4x4-es prímszámokból álló bűvös négyzetek is, ilyen pl.: Negyedrendű prím-bűvös négyzet A harmadrendű, prímszámokból álló bűvös négyzethez hasonló összefüggés a negyedrendűekre is igaz (bizonyítás ugyanott):

ha egy negyedrendű, csak prímszámokból álló bűvös négyzetben levő számok egy számtani sorozat tagjai, akkor a sorozat differenciája osztható 30030-cal;

de ma még nem ismerünk ilyen negyedrendű prímszámokból álló bűvös négyzet.

Pándiagonális (pánmágikus) bűvös négyzetek

Olyan bűvös négyzet, amelyekben nemcsak a főátlókban, hanem az úgynevezett törtátlókban (lásd: kitöltő színezés!) lévő számok is a mágikus összeget adják.
Ötödrendű pándiagonális bűvös négyzet Az egyes ábrákon az azonos színnel jelölt mezők alkotják a törtátlókat, ezek összege is 65.

Pándiagonális bűvös négyzet

Koncentrikus bűvös négyzetek - ördögkeretek

Olyan bűvös négyzetek, amelynek a legkülső keretét elhagyva ismét bűvös négyzetet kapunk (egymásba ágyazott bűvös négyzetek).
12-ed rendű ördögkeret 13-ad rendű ördögkeret A koncentrikus bűvös négyzetek alatt a színes mezőkben levő számok a megfelelő keretű bűvös négyzetek mágikus összege.

Idevonatkozó magyarnyelvű szakirodalommal nem lehet találkozni, de a keresők az angol megfelelő Border Square keresésre sok találatot adnak, példaként egy ilyen.

Az emberi leleményesség határtalan. A fentebb látott különböző fajta bűvös négyzetek kieszelése még a számítógépek világában sem egyszerű, de ezeket kombinálva különösen nehéz feladatokat találhatunk ki, például:

Létezik-e prímszámokból álló bűvös négyzet, amely pándiagonális ördögkeret?
8-ad rendű panprím-ördögkeret Természetesen igen!
A fenti ábrán egy olyan nyolcadrendű ördögkeret láthatunk, amelyben a hatodrendű bűvös négyzet pándiagonális és minden mezőben négyjegyű prímszám található.

Anti-bűvös négyzet

Olyan négyzet, amelyben az egyes sorokban, oszlopokban és (fő)átlókban lévő számok összege mind különböző.

Látszólag sokkal egyszerűbb megtalálni, mint egy bűvös négyzetet, de a véletlenszerű próbálkozással sok időt igénybe vehet. Segítségünkre lehet egy jól megformázott Excel táblázat, amely az ellenőrzést is gyorsan elvégzi, így találtam az alábbi példát:
Harmadrendű anti-bűvös négyzet A közölt megoldás a harmadrendű anti-bűvös négyzetre nem igazán szép, mert az összegek nem egymást követő természetes számok.

Bűvös kockák

A különleges bűvös négyzetek vizsgálatánál kiléptünk a térbe, és példaként egy 4x4x4-es kockát adtunk meg. Természetesen létezik egyszerűbb bűvös kocka is, az alábbi ábrán a 3 egységnyi élű kockában az 1-27 természetes számokat helyeztük el. 3-ad rendű bűvös kocka Jogos észrevétel lehet, hogy a testátlók mentén az összeg 42, de a lapátlók összege nem egyezik meg a mágikus számmal. A lehetőség természetesen mindenkinek adott, készítsünk pándiagonális bűvös kockát!

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek