Lénárt István: Jó szó, segítő szándék
Tarcsay Tamás
2003/01/21 14:46
2151 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

Ötletek, érvek az összehasonlító geometria tanításához .

Egy érdekes geometriaoktatási modellről szóló cikksorozat első darabja olvasható ezeken az oldalakon. Aki érdeklődik a nem euklideszi geometriák iránt, bizonyára nagy érdeklődéssel fogja olvasni e sorozatot.

Mit jelent az összehasonlító geometria tanítása?

Az általános iskola alsó osztályaitól kezdve egyszerre tanítunk síkgeometriát és gömbi geometriát, manipulatív eszközök, később számítógép felhasználásával. Hetedik-nyolcadiktól elkalandozunk a Bolyai-geometria világába is.

Ki vagy, aki a cikket írod, és jótanácsokat osztogatsz?

Imádok tanítani: húsz éve alkalmilag, tizenkét éve pedig rendszeresen tanítok. Most mégsem gyakorló tanárként szólok. Évtizedekbe telt, míg rájöttem, hogy valójában milyen szerepet kívánok vállalni. Tehát: edukátor, tanár- és diák-tanító, tanítási ötletadó vagyok. Olyan módszerek, eljárások, eszközök kigondolásával és kipróbálásával foglalkozom, amelyek élvezetesebbé, színesebbé, hasznosabbá teszik az oktatást valamennyi résztvevő számára.

Kérdések, amikre nem tudok válaszolni:

A tananyag sok, a matematika-óraszám egyre kevesebb - hová zsúfoljunk új ötleteket? Az iskolának nincs pénze - miből vegyünk új eszközöket? Tanítás, család, házimunka, különórák - mikor ismerkedjünk új gondolatokkal?

Szubjektív vélemény a matematikaoktatás helyzetéről

Az elmúlt, számomra csodálatos 2002-es évben bejártam az országot Nagyatádtól Sátoraljaújhelyig, Győrtől Makóig. Sok pedagógussal beszéltem, és többezer (nem túlzás!) hallgató számára tartottam matematika-előadásokat kiállításon és iskolákban. Mindenütt jóindulattal, tetszésnyilvánítással találkoztam: laikusoknál és szakmabelieknél, fiataloknál és idősebbeknél egyaránt.

Mindezek ellenére élményeim megerősítettek bennem egy, már régebben felmerült gondolatot.

A matematikatanítás itthon is, külföldön is útkereső, válságos időszakát éli, amelynek legkézzelfoghatóbb jele a közhangulat. Kérdezzük meg azt a tíz embert, akivel legközelebb találkozunk: mi a véleménye a matematikáról? Földrajzról? Irodalomról? Autósiskoláról? Értékeljük az eredményeket! Hány szavazatot kaptunk az egyes tárgyaknál: 'Igen, ezt hasznosnak tartom.' 'Igen, ez érdekes és szép volt.' 'Gyönyörű dolog, de számomra sajnos felfoghatatlan.' 'Utálom.'

Akit ez a közvélemény-kutatás nem győzött meg, tanulmányozza a felsőoktatás egyes területeire jelentkezők számát, húsz évre visszamenőleg, napjainkig! Vaknak és süketnek kell lennünk ahhoz, hogy a matematika presztizsvesztését észre ne vegyük.

Ez a folyamat nem a felsőoktatásban kezdődik. Évtizede még ritkaság volt, ma pedig egyre gyakrabban hallható a kérdés: "Tanárnő/tanár úr, miért van nekem szükségem arra, hogy ismerjem a logaritmust vagy a szögfüggvényeket?" És - kérem, ne vegyék rossz néven - sok kolleginánál-kollégánál érzem, hogy maga sem biztos a válaszban! Csakugyan: miben segítenek a matematikai fogalmak a mindennapi döntéshelyzetekben, a magánemberi és állampolgári problémákban, a ránk zúduló információtömeg értékelésében? Nem pusztán valamilyen túlhangsúlyozott játék, túl komolyan vett logikai fejtörő az egész? Voltaképpen mit akarunk elmondani tanítványainknak a matematika segítségével?

Az üzenet

Számomra a matematika az alapok szabad megválasztásáról, az egymást tisztelő partnerek véleménycseréjéről, az önálló gondolkozásról szól.

Az egyrendszerű, csalhatatlan matematikát, korszerűtlennek, halottnak, taníthatatlannak tartom. Az egyrendszerű matematika éles ellentétben áll mindazzal, amit a mai fiatal az élet legtöbb területén: politikában, gazdaságban, munkahelyválasztásban, magánéletben tapasztal. Az élő, korszerű matematikaoktatás legfontosabb feladata, hogy önálló gondolkozásra, a döntéshelyzetek megismerésére és megoldására nevelje a fiatalokat.

Ennek megfelelően, a matematika bármely területén többféle lehetséges rendszert és módszert kell bemutatnunk, diákjainkra hagyva a választás jogát és kötelességét.

Az összehasonlító geometria ezt a többszempontú megközelítést kívánja a matematikában megvalósítani.

Miről szól ez a cikksorozat?

Az alapok kidolgozása, a megfelelő taneszközök és tankönyvek megjelenése már megtörtént. A magyar nyelvű irodalomból Hajós György klasszikus műve sok hasznos gömbi információt is tartalmaz. Kálmán Attila "Nem euklideszi geometriák elemei" című tankönyve a síkgeometria, a gömbi geometria és a Bolyai-geometria rendszeres, összehasonlító kifejtését adja. Kérem, ne vegyék szerénytelenségnek, ha egyebek között az általam kidolgozott rajzgömb-készletet, tankönyvet és tanártovábbképzési tanfolyamot is megemlítem.

Ebben a cikksorozatban olyan, részletesen kidolgozott példákkal foglalkozom, amelyeket a gyakorló tanár könnyen érthetőnek, tanítványai számára hasznosnak, meglepőnek, szórakoztatónak érezhet. Szeretném bemutatni, hogy a matematikai és pedagógiai elméletek kidolgozásán túl már összegyűltek olyan - ha szabad így mondanom, apróbb - feladatok, amelyekkel mindezeket a célkitűzéseket az iskolai munkában megvalósíthatjuk

A sík és a gömb mellett miért nem foglalkozunk mindjárt a Bolyai-geometriával is?

Azért nem, mert véleményem szerint az első és legfontosabb lépés a sík és gömb összehasonlítása. Ha a merev, egyrendszerű szemléletmódot feloldottuk tanítványainkban, már jóval könnyebben ismerkedhetnek új, más világokkal. Ehhez járul, hogy a síkfelület, illetve a gömbfelület geometriája még a Bolyai-geometria legegyszerűbb modelljeinél is szemléletesebb. Hangsúlyozni szeretném azonban, hogy a sík-gömb-félgömb utat, mint a Bolyai-geometriáig vezető módszert még tizenévesek számára is felfogható és megszerethető útnak találtam.

Támpontok a példákhoz

Ha az alapfogalmak részletes kifejtésével kezdeném - ahogyan ezt a fent felsorolt könyvek teszik -, akkor bőven kimeríteném a cikksorozat szabta kereteket. Ehelyett utalásszerűen felsorolom a gömbi geometria néhány olyan jellegzetességét, amelyeket a síkgeometriához szokott szemléletmód meglepőnek találhat.

  1. Minden gömbi pontnak van átellenes, tőle legmesszebb fekvő pontja (Északi sark - Déli sark)
  2. A gömbi egyenes: a gömbi főkör (Egyenlítő, hosszúsági körök igen - Egyenlítőn kívüli szélességi körök nem!)
  3. Két gömbi pont gömbi távolsága: az őket összekötő rövidebb főkörív hossza; átellenes pontoknál pedig akármelyik félfőkörív hossza, vagyis 180°.
  4. Minden gömbi ponthoz hozzárendelhetünk egy főkört (Egyenlítő); minden főkörhöz hozzárendelhetünk két gömbi pontot (sarkpontok). A kapcsolat neve: polaritás vagy dualitás.
  5. Két főkörív hajlásszögét gömbi főkörvonalzóval is mérhetjük, a szög csúcsához tartozó egyenlítő mentén (ahogyan két hosszúsági kör hajlásszögét lemérhetjük az Egyenlítő mentén). Ez annyit tesz, hogy gömbön értelmezhető a következő kifejezés: "a háromszög egyik oldalának és a vele szemben fekvő szögnek az összege".
  6. "Gömbháromszög oldalai" alatt a csúcspontokat összekötő rövidebb főköríveket, vagyis a távolságvonalakat értjük (Euler-féle háromszögek).
  7. Az Euler-háromszögekre, ugyanúgy, mint a síkon, igaz a háromszög-egyenlőtlenség; és igaz az is, hogy egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek, nagyobb oldalakkal szemben nagyobb szögek fekszenek.
  8. A háromszögek szögösszege 180°-tól 540°-ig változhat. A szögösszeg pontosan 180°, ha a három csúcspont közül valamelyik a másik kettő által meghatározott rövidebb főkörívre esik; és pontosan 540°, ha akármelyik csúcs a másik kettő által meghatározott hosszabbik főkörívre esik. Vagyis: mindkét szélső esetben a három csúcs egyetlen főkörön helyezkedik el, de 180°-nál a háromszög csak egy főkörívet jelent, 540°-nál pedig egyteljes főkört! 180°-nál a háromszög szögei: 0°, 180°, 0; 540°-nál a háromszög szögei: 180°, 180°, 180°.
  9. Vannak egyszer derékszögű, kétszer derékszögű és háromszor derékszögű gömbháromszögek. A háromszor derékszögű háromszög neve: oktáns.
  10. A háromszög-kongruenciák közül: az oldal-oldal-oldal, a szög-oldal-szög és az oldal-szög-oldal ugyanúgy érvényes, mint a síkon. A szög-szög-oldal a gömbön - ellentétben a síkkal - általában nem érvényes!
  11. A szög-szög-szög eset - a síkkal éles ellentétben - elég a kongruenciához! A gömbön két háromszög csakis akkor hasonló, ha egybevágóak is. Gondoljunk például a szabályos gömbháromszögekre: az egészen pici, ponttá fajuló háromszög 60°-os szögétől a teljes főkörré kikerekedő elfajult háromszög 180°os szögéig változik. Különböző, de hasonló háromszögek nincsenek közöttük!
  12. Minden gömbháromszöghöz tartozik egypolárgömbháromszög, amelynek csúcspontjai az eredeti háromszög sarkpontjai. Egy háromszög akármelyik szöge a polárháromszögnek a szöggel szembeni oldalát 180°-ra egészíti ki; egy háromszög akármelyik oldala a polárháromszögnek az oldallal szembeni szögét 180°-ra egészíti ki. Ebből következik, hogy, ha egy háromszög szögei, a, b, c adottak, akkor a háromszöget a következőképpen szerkeszthetjük meg: vesszük a 180-a, 180-b, 180-c oldalakat, ezekből megszerkeszthejük a polárháromszöget, a polárháromszögből pedig a keresett, eredeti háromszöget: ennek a szögei lesznek a, b, c.

Ennyi! Ha még valamire szükség lenne, idejében szólok. Most pedig lássunk egy példát.

Egy példa

Melyek azok a háromszögek síkon és gömbön, amelyeknek van legalább egy olyan szögfelezőjük, amelyik a szemközti oldalt az oldal felezőpontjában találja el?

Síkon az első ötlet: a szabályos háromszögek, ahol mind a három szögfelező eleget tesz a feltételnek. Sokan felismerik, hogy ugyanez érvényes szabályos gömbi háromszögekre is.

Következő lépés: síkon az egyenlőszárú háromszögek is jók, mert szimmetriatengelyük merőlegesen felezi az alapot. Ugyanez érvényes a gömbön is.

Van-e más megoldás is? Időbe telik, míg rájönnek a következőre: Ha a síkon a szögfelező tetszőleges pontjában merőlegest állítunk, akkor ez biztosan megadja az egyenlőszárú háromszög alapját, tehát a feladat egy alkalmas megoldását. Ha a feladatnak van más megoldása is, ez annyit jelent, hogy ugyanezen a ponton át még egy egyenes húzható, amelynek a két szögszár közé eső szakaszát a szögfelező szintén a középpontjában találja el.

Ha rajzot készítünk, látjuk, hogy a közös metszéspont két oldalán két háromszög keletkezik, amelyeknek az oldal-szög-oldal eset értelmében egybevágóaknak kell lenniük. Ebből viszont következik, hogy az egyenlő szárú háromszög alapján keletkező két egyenlő szög egyúttal kiegészítő szög is - ami csakis derékszögeket jelenthet. Ebben az esetben az egyenlő szárú háromszög két szára párhuzamos - ami a síkon lehetetlen. Itt tehát csakis az egyenlő szárú háromszögek jelentik a megoldást.

És gömbön?

A síkon követett gondolatmenet majdnem teljes egészében érvényes a gömbön is, éppen ezért a síkhoz kötött szemléletmód erősen sugallja a hamis következtetést: itt sincs több megoldás! Ha azonban egy gömbkétszöget tekintünk, és megszerkesztjük a szögfelezőjét, láthatjuk, hogy a gömbkétszögnek van egy kitüntetett pontja: a szimmetriaközéppont. Ezen a ponton átmenő bármelyik főkör két, egymással tükrösen egybevágó gömbháromszögre bontja a gömbkétszöget. Mindegyik ilyen háromszög eleget tesz a feltételeknek - a gömbön tehát végtelen sok olyan megoldás is létezik, amelyeknél nem egyenlő szárú háromszögek szerepelnek!

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek