Matematikai mozaik: A VONALAK TITKA
2003/09/03 00:09
2791 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Rajzok, ábrák, különböző vonalakkal előállított alakzatok érdekes problémákat rejtenek, amelyek megoldásában a matematika is segítséget nyújthat.

Ilyen problémát rejt a következő kérdés:

Megrajzolható-e egyetlen vonallal - az íróeszköz felemelése nélkül - egy alakzat úgy, hogy a már megrajzolt vonalon csak egyszer megyünk végig?

Próbálkozzunk meg egy előre megrajzolt, ABCDEF csúcsokkal jelölt és benne AC, CE és EA átlókkal rendelkező hatszög, majd egy ABCD csúcsokkal és benne BE és CE szakaszt tartalmazó téglalap minden vonalán végighaladni az íróeszközünk felemelése nélkül!

A két kísérlet végrehajtása közben érdekes felfedezéseket tehetünk! Mindkét ábránk esetében sikerül egyetlen vonallal megrajzolni az adott alakzatot.

A hatszög esetében bármelyik csúcsból is indulunk ki, kísérletünk sikerrel jár, és mindig a kiindulási csúcsba érünk vissza!

A téglalap esetében is sikerül egyetlen vonallal végighaladnunk az ábránk szakaszain, de a kiindulási pontunk nem lehet akármelyik csúcs és nem a kezdőpontba érkezve fejezzük be az ábra egyetlen vonallal való megrajzolását!

Fejtsük meg az ábrák által rejtett vonalak titkát! A titok elemzéséhez előbb állapodjunk meg néhány dologban! Nevezzük el az ábrákon A,B,C,D,E,F betűkkel jelzett pontokat csomópontoknak! Ezekbe a csomópontokba vonalak futnak be, vagy indulnak tovább. Ezeket a vonalakat a továbbiakban utaknak nevezzük!

1. A hatszöget ábrázoló rajzunkon látható, hogy a B, D, F csomópontokban 2-2, az A, C és E csomópontokban pedig 4-4 út fut össze. Megállapítható tehát az, hogy a csomópontokban összefutó utak száma mindenütt páros! Ha akárhonnan indulunk ki a csomópontok közül az ábra egyetlen vonallal való megrajzolásakor - ahhoz, hogy ugyanoda vissza is érkezzünk - a többi csomópontba be kell lépnünk és onnan ki is kell lépnünk, majd továbbhaladva meg kell érkeznünk a kiindulási pontunkba. Ehhez a csomópontokban legalább egy belépő és egy kilépő útpárra van szükség! Ezek a feltételek ebben az esetben - a hatszögnél - érvényesülnek ezért az ábránk vonalain az íróeszköz felemelése nélkül úgy haladhatunk végig, hogy a kiindulási helyre visszaérkezünk!

Összegezve:

Ha egy ábra minden csomópontjában párosszámú út találkozik akkor az - bárhol kezdve a vonal rajzolását - egyetlen zárt vonallal mindig megrajzolható.

2. Most a téglalapot ábrázoló rajzunkat is a csomópontok és az azokban lévő utak számát elemezve vizsgáljuk meg. Az A, D és E csomópontokban párosszámú út találkozik, de a B és a C csomópontokban az utak száma páratlan: 3-3. Ezek valamelyikéből kell kiindulni! Bármelyik csomópontból is kezdjük a kiindulást az ábra egyetlen nyitott vonallal megrajzolható, ilyenkor a másik páratlan számú utat tartalmazó csomópontba érkezünk az ábra valamennyi "útjának" megrajzolásakor.

Összegezve:

Egy nyitott vonalnak csak egy kezdő és csak egy végpontja van. Ezért belátható az, hogy csak azok az alakzatok rajzolhatók meg egyetlen nyitott vonallal, amelyeknek csomópontjai közül kettő és csakis kettő páratlan számú utat, valamennyi többi pedig páros számú utat tartalmaz.

A most itt látható különböző alakzatok között találsz olyant, amely egyetlen zárt vonallal, de találsz olyant is, amely egyetlen nyitott vonallal megrajzolható. Válaszd ki ezeket! A válogatáshoz alkalmazd az előbb megismert "titkokat"!

I. Az ábrának 2 páros számú és 2 páratlan számú úttal rendelkező csomópontja van, ezért egyetlen zárt vonallal megrajzolható.

II. Az ábrán 4 páros számú és 2 páratlan számú úttal rendelkező csomópontja van, ezért ez egyetlen nyitott vonallal rajzolható meg.

III.-IV. A két ábra már gondolkodásra késztet! Biztosak lehetünk benne, hogy ezek nem rajzolhatók meg egyetlen vonallal!

A III. ábrát csak két vonallal, a IV.-et három vonallal lehet csak megrajzolni.
Ha leírjuk tapasztalatainkat érdekes "szabályt" fedezhetünk fel! A II. ábránkon 2 páratlan utat összefogó csomópont van, így egy nyitott vonallal megrajzolhattuk.

A III. ábrán 4 páratlan utat összefogó csomópont van, így két nyitott vonallal megrajzolhattuk.

A IV. ábrán 6 páratlan utat összefogó csomópont van, így 3 nyitott vonallal rajzolhatjuk meg.

Észrevehető, hogy a megrajzoláshoz szükséges vonalak száma éppen fele a páratlan utakat összefogó csomópontok számának!Az előzőkben összegezett és a most leírt, általunk felfedezett "titkok" ismeretében bármilyen ábráról megmondhatjuk, hogy hány vonallal lehet megrajzolni, és melyek legyenek a vonalak kiindulási pontjai!
Tervezzetek olyan alakzatokat, amelyek egyetlen zárt vonallal, egyetlen nyitott vonallal, 2, illetve 3 vonallal lehet megrajzolni!

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek