Még egyszer a közepekről
2004/12/02 19:43
690 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Rovatunkban többször foglalkoztunk a nevezetes közepekkel. Ezúttal a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségre mutatunk egy bizonyítást. A bizonyítás nem tekinthető "eleminek", ennek ellenére fakultatív tantervű osztályokban "eladható".

A Matematika rovat olvasói már többször találkozhattak a nevezetes közepek közti egyenlőtlenségek szemléltetésével. Ezek a szemléltetések általában geometriai megfontolásokon alapultak, és többnyire csak két tagra mutatták az egyenlőtlenségek teljesülését. Ezúttal egy olyan bizonyítást mutatunk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségre, amely korántsem "elemi", mégis egyszerűnek tekinthető, és akárhány tagra alkalmazható.
Ha az x1, ..., xn számok mindegyike nemnegatív, akkor legyen An azok számtani, Gn a mértani közepük, azaz Az An = 0 esetén triviális, hogy a mértani közép nem lehet nagyobb a számtaninál, ezért feltételezhető, hogy An> 0. Definiáljuk az a1, ..., an számokat a következőképpen: Egyszerű számolás mutatja, hogy ekkor a1 + a2 + ... + an = 0. Számos szimbolikus algebrai rendszer segítségével szépen szemléltethető a következő egyenlőtlenség: és egyenlőség csak x = 0 esetben áll fenn. A fenti egyenlőtlenséget a DERIVE programmal készült alábbi ábrával szemléltetjük. Szintén egyszerű számolással látható, hogy A fenti egyenlőtlenség többszöri alkalmazása után kapjuk, hogy Megjegyezzük, hogy a fenti becslésben felhasználtuk, hogy az függvény monoton növő az értelmezési tartományán.
Az egyenlőtlenség bal oldalán ekvivalens átalakításokat végezve adódik, hogy amiből (felhasználva, hogy a1 + a2 + ... + an = 0 ) adódik.

Árki Tamás

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek