Mégsem mozog!
Tarcsay Tamás
2005/01/21 11:20
726 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Dr. Szilassi Lajos tanár úr egy korábbi írásában egy érdekes poliéderrel ismertetett meg bennünket, és feltett egy kérdést e poliéder mozgathatóságára vonatkozóan.

Akkor tekintsünk egy poliédert mozgathatónak (flexibilisnek), ha a az élei mentén hajlítható, de egyébként merev lapokból összeállított poliéder nem egyértelműen meghatározott, vagyis ezekből az adatokból építhető olyan poliéder, amelynek a lapszögei folytonosan változhatnak.

Legyen a vizsgált poliédernek A, B és C az a három csúcsa, amelyek egy - az egyszerűbb számolás kedvéért 2 egységnyi oldalhosszú - szabályos háromszöget határoznak meg. Ennek a poliédernek - akár mozgatható, akár nem - a szerkezetéből, továbbá az élei adott hosszából következően van három szimmetriasíkja, amelyek páronként merőlegesek egymásra. Így két paraméterrel (legyenek ezek x és y ) jellemezhető az összes csúcsa. A poliédert elhelyezhetjük úgy a térbeli derékszögű koordinátarendszerben, ahogy az ikozaédert is legcélszerűbb: e három pont essen a három koordináta-síkra. Legyenek a koordinátáik: A(y,x,0), B(0,y,x) és C(x,0,y). Ekkor a csúcsokat meghatározó téglalapok oldalai 2x, ill. 2y..Felírva az AB pontok közötti távolságot, és kihasználva, hogy AB=BC=CA=2, x és y között az alábbi összefüggést kapjuk:
Azok az (x,y) számpárok, amelyek a fenti egyenletet kielégítik, biztosítják hogy a poliéderünk szabályos háromszöglapjai egybevágók, élük, valamint a tompaszögű háromszögek szárainak a hossza 2. Mivel a háromszöglapok "merevek", annak is teljesülni kell, hogy e háromszögek alapja mindig T maradjon. (Lásd az első írást!)

Bár alkalmas x értékekre a fenti másodfokú egyenlet mindkét gyöke pozitív, elegendő az
függvényt vizsgálnunk. (A másik függvény értéke sehol nem éri el a T, közelítően 1, 61803 értéket.)

Erre a függvényre - mint várható volt - teljesül, hogy
(amely éppen a szabályos ikozaéder koordinátáit jelenti), de emellett
is teljesül, sőt e két stabil helyzet között f(x)-T nem több mint 0.015 -del, tehát kevesebb mint 1%-kal tér el a 0-tól. De eltér, így matematikailag ez nem mozgatható. Ha papírból késztjük el ezt a poliédert, akkor e kis eltérésnek és az anyag "engedékenyésgének" köszönhetően a poliéder modellje látszólag mozgatható. Megjegyezzük még, hogy ismert több, látszólag mozgatható poliéder, azonban igen nehéz valóban, matematikai eszközökkel igazolható módon mozgatható (flexibilis) poliédert találni. Hraskó András tanár úr, a budapesti Fazekas Gimnázium tanára hívta fel a figyelmünket olyan oldalakra, amelyeken a cikkben vizsgált poliéder megtalálható:

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek