Pénzfeldobó játék
Tarcsay Tamás
2006/06/28 09:54
1210 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Egy korábbi írásunkkal kapcsolatos tipp jelent meg a Sulinet Oktatási Portál egyik fórumán. Ehhez kapcsolódva adunk közre néhány gondolatot.

Az említett cikkben a következő problémához készült animáció található meg:
Egy pénzdarabot dobálunk addig, amíg háromszor egymás után fejet dobunk. Várhatóan hányadik dobásra következik ez be?

A kapcsolódó fórumon "nety" azt tippelte, hogy a dobássorozatok várható hossza 4.
Hogyan vizsgálhatjuk a problémát? Végezzünk el néhány dobássorozatot az animációval!
A következő táblázat egy adott kísérletben szereplő a dobássorozatok sorszámát és hosszát tartalmazza.
Jól láthatjuk, hogy a dobássorozatok hossza nagyon változó lehet, a terjedelem 24. Hogyan lehet ez alapján válaszolni a kérdésre? Mi a véleményünk "nety" tippjéről?

Tekinthetjük a dobássorozatok hosszának átlagát is. Ez az előbbi 10 kísérlet után 12,7.

Vizsgáljuk meg agy újabb kísérletben, hogy az átlagos dobáshossz hogyan alakul:

Ezek után azt már érezzük, hogy "nety" tippje túl kicsinek tűnik. Hogyan tudnánk biztosabbá tenni a mi tippelésünket?

Végezzünk el sokkal több kísérletet, és vizsgáljuk a dobássorozatok hosszának alakulását!
Természetesen a cikkben szereplő erre már nem alkalmas, hiszen sok dobássorozat elvégzése időt igénylő feladat. Más digitális segédeszközre van szükség.

A TI-83 Plus programozható zsebszámológép alkalmazásával a következő eredményeket kaptuk:

Ezek után már többen lennének, akik bátrabban tippelnének, és bizonyára többen állítanák azt, hogy várhatóan a 14. dobásra dobunk először három fejet egymás után.

Felmerülhet a kérdés, hogy nem lehetne valahogy egzaktabbá tenni vizsgálódásainkat?
Eddig csak kísérletezgettünk, és ebből vontunk le következtetéseket a vizsgált véletlen jelenségre vonatkozóan.

Korábbi tanulmányaink alapján megszokhattuk, hogy ha a véletlenről akarunk mondani valami nagyon valószínűt, akkor a valószínűségszámítás eszközeihez kell nyúlni.
Legyen A(i) az esemény, hogy i. dobásra dobunk először egymás után három fejet!

Vizsgáljuk ezen események valószínűségét a klasszikus valószínűségi mezőre vonatkozó ismereteink alapján!
Nyilvánvaló, hogy P(A(1)) = P(A(2)) = 0, hiszen ezek lehetetlen események.
Az i hosszúságú dobássorozatok száma 2-nek i. hatványa.
A következő táblázat tartalmazza az egyes i számok esetében a "jó" dobássorozatokat, azok számát, és az A(i) esemény valószínűségét.
(** A végződés mindig ifff, ezért csak az első 5 betűt írtuk ki.)

A táblázatból (is) megsejthető a K(i) sorozatra következő rekurzív összefüggés:
Bizonyára a teljes indukció alkalmazásával a bizonyítás is elvégezhető.

A Maple program képes arra, hogy megoldjon ilyen lineáris rekurziókat. A megoldásul kapott képlet - enyhén szólva - nem túl áttekinthető.
Az A(i) események valószínűségének számolására viszont alkalmas. Az itt következő valószínűségeket már a Maple számolta:

10, 11/256
11, 81/2048
12, 149/4096
13, 137/4096
14, 63/2048
15, 927/32768
16, 1705/65536
17, 49/2048
18, 721/32768
19, 10609/524288
20, 19513/1048576
21, 17945/1048576
22, 16503/1048576
23, 121415/8388608
24, 223317/16777216
25, 51343/4194304
26, 188869/16777216
27, 1389537/134217728
28, 2555757/268435456
29, 2350385/268435456
30, 540379/67108864

Térjünk vissza a keresett várhatóértékre! A valószínűség jelentése és a korábbi tanultak alapján gondolhatjuk, hogy a keresett várhatóértéket az alábbi sor szolgáltatja:
E sor részletösszegei a Maple segítségével megadhatók:

10, 2.953125000
35, 11.12392841
60, 13.45911448
85, 13.91039269
110, 13.98613207
135, 13.99794322
160, 13.99970373
185, 13.99995822
210, 13.99999420
235, 13.99999921
260, 13.99999989
285, 13.99999999
310, 14.00000000

Innen már sejthető, hogy a sor összege 14, ez az, amit kerestünk.

Tarcsay Tamás

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek