Skatulya-elv II.
2004/07/24 15:32
1107 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A skatulya-elvvel kapcsolatos korábbi írásunkban a kombinatorikus geometria témaköréből gyűjtöttünk feladatokat, most azt vizsgáljuk meg, hogy a számelmélet témakörében hogyan alkalmazhatjuk az elvet.

A skatulya-elv számelméleti feladatokban

  1. Az 1, 2, ..., 100 egész számok közül kiválasztottunk 55 darabot. Mutassuk meg, hogy a kiválasztottak között van két olyan, amelyek különbsége 9 !
  2. Mutassuk meg, hogy öt, 10-nél nagyobb prímszám között mindig van két olyan, amelyek különbsége osztható 10-zel!
  3. Mutassuk meg, hogy három négyzetszám között mindig van két olyan, amelyek különbsége osztható 3-mal!
  4. Mutassuk meg, hogy ha az 1, 2, ..., 100 számok közül 27-et kiválasztunk, akkor a kiválasztottak között lesz két olyan, amelyek nem relatív prímek!
  5. Válasszunk ki az 1, 2, ..., n számok közül n+1 darabot. Mutassuk meg, hogy van két olyan, amelyek relatív prímek!
  6. Egy városban 1940000 lakos van. Mutassuk meg, hogy van 13 lakos köztük, akiknek ugyanannyi hajszála van! (Egy embernek legfeljebb 150000 hajszála van.)
  7. Mutassuk meg, hogy a 2 pozitív egész kitevős hatványainak sorozatban található-e két olyan különböző szám, amelyek különbsége osztható 100-zal?
  8. Van-e a 3-nak olyan pozitív egész kitevős hatványa, amely 0001-re végződik?
  9. Mutassuk meg, hogy 1999-nek van olyan többszöröse, amely csak a 0 és az 1 számjegyekből áll!
  10. Mutassuk meg, hogy 1999-nek van olyan többszöröse, amely csak az 1 számjegyből áll!
  11. Mutassuk meg, hogy n egész szám között mindig van néhány, amelyek összege osztható n-nel! (Egytagú összeget is megengedünk.)
  12. A tíz elemből álló H halmaz elemei kétjegyű számok. Természetesen a tízes számrendszerre gondolunk. Igaz-e, hogy ki tudunk választani H-ból két nem üres, egymástól idegen részhalmazt úgy, hogy e részhalmazok elemeinek az összege megegyezzék?
  13. 24 csapat körmérkőzéses bajnokságában - amelyben nincs döntetlen - már 50 mérkőzést lejátszottak. Bizonyítsuk be, hogy van olyan csapat, amely vagy háromszor győzött, vagy háromszor vesztett már!
  14. Egy 5x5-ös négyzet mezőibe az 1 és -1 számjegyek valamelyikét írjuk. Soronként és oszloponként összeadjuk a számokat. Mutassuk meg, hogy lesz két azonos összeg!
  15. Egy nxn-es négyzet mezőibe a -1, 0, 1 számok valamelyikét írjuk. Soronként, oszloponként, illetve a két átlóban összeadjuk a számokat. Igazoljuk, hogy nem állhat mindenhol más szám!
  16. Egy négyzetrácson kijelölünk öt rácspontot, és azokat páronként összekötjük. Bizonyítsuk be, hogy a kapott szakaszok közül valamelyik további rácspontot is tartalmaz!
  17. Egy síkbeli négyzetrácsot egységoldalú négyzetek alkotnak. Mutassuk meg, hogy bárhogy is választunk ki 101 rácspontot, lesz köztük két olyan, amelyeknél mindkét megfelelő koordináta különbsége 0-ra végződő egész szám!
  18. Mutassuk meg, hogy a(pi) szám tizedesjegyei közt van 3 egymást követő számjegy, amelyek együtt végtelen sokszor fordulnak elő egymás mellett!
  19. Mutassuk meg, hogy a 0, 2, ..., 100 számok között van olyan, amelyik egy egész számot 0,01-nál jobban közelít!

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek