Terület-átdarabolások 2.
2004/03/07 16:44
1582 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A terület-átdarabolásokkal foglalkozó korábbi írásunkban beláttuk, hogy egy trapézátló által meghatározott háromszögek közül a szárakon fekvők területe egyenlő! A kitűzött - erre visszavezethető - feladatok megoldása melett újabb, hasonló feladatokat is közlünk.

A matematikában gyakran hivatkozunk korábban megoldott feladatra. Ezt az eljárást tréfásan a "teafőző elv"-nek nevezzük:

Egyszer egy matematikus és egy fizikus között az alábbi párbeszéd hangzott el:

- Egy üres teáskanna és egy kikapcsolt villanyrezsó van előtted. Mit csinálsz, hogy megmelegítsd a vizet? - szólt a matematikus.
- Megtöltöm a teáskannát vízzel, bekapcsolom a rezsót, majd a teli kannát felteszem a rezsóra. - válaszolta a fizikus.
- Rendben! Ezek után hogyan oldanád meg a következő feladatot: a bekapcsolt rezsó mellett áll egy hideg vízzel teli teáskanna. Mi a teendőd, hogy megmelegítsd a vizet?
- Ez még egyszerűbb! A rezsóra helyezem a teáskannát!
- Szó sincs róla! - mondta a matematikus. - Ki kell kapcsolnod a rezsót, ki kell öntened a vizet, és így egy olyan feladathoz jutsz, amit korábban már megoldottál!

(A teafőző-elv két könyvben is megtalálható:
Ruszev-Ruszeva: Matematikai mozaik és
R. Smullyan: Mi a címe ennek a könyvnek?)

Az előző terület-átdarabolásos írásban három - egymásra épülő - feladatot tűztünk ki. Az első maga az alapfeladat volt, a második így szólt:

Az ABC háromszög egyik oldalán vegyünk fel egy tetszőleges P pontot! Rajzoljunk a P ponton keresztül olyan egyenest, amely két egyenlő területű részre bontja fel a háromszöget, ha 1. ábra a) P az AB szakasz végpontja;

b) P az AB szakasz belső pontja!

Kössük össze a BC szakasz F felezőpontját az P=A ponttal! Az így kapott s súlyvonal felezi az ABC háromszög területét, mivel BF = FC és a hozzájuk tartozó magasság közös. P = B esetben az AC oldalhoz tartozó súlyvonal felezi a háromszög területét.
2. ábra

Ha P az AB szakasz belső pontja, kössük össze a C csúccsal, és az A (vagy B) csúcson keresztül szerkesszünk PC-vel párhuzamost, amely BC (AC) egyenesét E-ben metszi. Mivel APM és a CEM háromszögek területe megegyezik, így az ABC és PBE háromszögek területe is egyenlő. A PBE háromszög területét a P-ből kiinduló súlyvonal felezi, így PE egyenese a keresett egyenes.

3.
Az ABCD konvex négyszög AB oldalán vegyünk fel egy tetszőleges P pontot! Rajzoljunk a P ponton keresztül olyan egyenest, amely két egyenlő területű részre bontja fel a négyszöget, ha 3. ábra a) P az AB szakasz végpontja;

b) P az AB szakasz belső pontja!

Ha a P pont az AB oldal egyik végpontja (pl. P=A), akkor kössük össze az A pontot C-vel, majd AC szakasszal rajzoljunk párhuzamost a D ponton keresztül, amelynek jelöljük a BC egyenesével való metszéspontját E-vel és a CD szakasszal való metszéspontját M-mel. Az ACED négyszög az E felvétele miatt trapéz, ezért AMD és EMC háromszögek területe egyenlő, így az ABCD négyszög és az ABE háromszög területe is egyenlő. Az ABE háromszög területét az A pontból kiinduló súlyvonal felezi, így AF súlyvonal az ABCD négyszög területét is felezi.
4. ábra Ha a P pont az AB oldal egyik belső pontja, akkor az előzőek alapján daraboljuk át az ABCD négyszöget az ABE háromszögre, majd szerkesszük meg e háromszög E pontból kiinduló EF súlyvonalát, ami az ABE háromszöget két egyenlő területű részre osztja. Szerkesszünk az AB szakasz F felezőpontján át a PE szakasszal párhuzamost, amely a BE szakaszt G-ben metszi. A PFGE négyszög trapéz, így PFM és a GEM háromszögek területe egyenlő, ezért PBG háromszög területe megegyezik a FBE háromszög területével, ami az átdarabolás miatt az ABCD négyszög területének a fele, így PG a keresett egyenes. (Ha G pont nem illeszkedik a BC szakaszra, az átdarabolást AC átló helyett a BD átlóval végezzük.)

Feladatok

  1. Adott egy tetszőleges ABC háromszög. Keressük meg a háromszög síkjában az összes olyan P pontot, amelyekre az ABP háromszögek területe megegyezik az adott ABC háromszög területével!
  2. Adott egy tetszőleges ABC háromszög. Keressük meg a háromszög síkjában azt a P pontot, amelyre az ABP háromszög területe megegyezik az adott ABC háromszög területével, és a kerülete minimális!
  3. Keressük meg egy tetszőleges konvex négyszög belsejében az összes olyan P pontot, amelyet a négyszög két szemközti csúcsával összekötve két egyenlő területű sokszöget kapunk!

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek