Törtek egyszerűsítése
2003/12/30 20:31
48004 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A törtek egyszerűsítése lehet könnyű is, nehéz is - attól függően, hogy mennyire tudunk számolni, illetve milyen eszközök állnak a rendelkezésünkre. A bemutatott eljárással a csúnya törtek is viszonylag könnyen egyszerűsíthetők - ha egyszerűsíthetők.

A törtek egyszerűsítését általában az ötödik osztályban tanítjuk, és megelégszünk a szorzótábla ismeretében viszonylag könnyen egyszerűsíthető törtekkel: A legnagyobb közös osztó kiszámolásánál újból elővesszük, mondván: a nagyobb számok egyszerűsítését a számláló és nevező legnagyobb közös osztójával célszerű elvégezni. Véleményem szerint azonban még a gyengébb számolási készséggel rendelkező tanulóknak is gyorsabb és biztosabb a hagyományos lépésenkénti módszer: Ha nem a szokásos szép törttel találkozunk órán, akkor gyakran elhangzik, hogy "Ez a tört már nem egyszerűsíthető!" - még a kétjegyű számlálóval és nevezővel felírt számok körében is.

A törtek egyszerűsítését persze megkönnyítheti bizonyos számelméleti szabályok ismerete. Az általános iskolában csak a természetes számokra fogalmazzunk meg oszthatósági szabályokat, ezért csak pozitív törtekre mutatunk példákat, amelyek mindegyikénél kihasználjuk, hogy

egyszerűsíteni azzal a nullától különböző számmal lehet, amely osztója a számlálónak is és a nevezőnek is.


I. példa: Egyszerűsítsük a következő törtet: 1. A számláló prímszám, ha lehet egyszerűsíteni, csak 19-cel lehet.
2. Mivel a nevező is osztható 19-cel - osztópárja a 3 -, ezért

II. példa: Egyszerűsítsük a következő törtet: 1.
A számláló 2-vel osztható, osztópárja a 13.
2.
A nevező 2-vel nem osztható, ha lehet egyszerűsíteni, akkor csak a 13-mal vagy az oszthatóival lehet.
3.
A nevező is osztható13-mal - osztópárja a 7 -, ezért

III. példa: Egyszerűsítsük a következő törtet: Az eddigi módszereink nem igazán használhatók, mert a számláló és nevező egyikére sem tudunk ismert oszthatósági szabályt alkalmazni.
Ha lehet egyszerűsíteni, akkor a számláló is és a nevező is osztható ugyanazzal a számmal, de ekkor ez a szám osztója a számláló és nevező összegének is és különbségének is. Számunkra az utóbbi észrevétel lesz igazán hasznos.

1.
Sem a számlálóra, sem a nevezőre nem ismerünk oszthatósági szabályt, ezért számoljuk ki a különbségüket!
2.
A nevező és a számláló különbsége 68, ami 1-gyel, 2-vel, 4-gyel, 17-tel és 34-gyel és 68-cal osztható.
3.
Mivel sem a számláló, sem a nevező nem osztható 2-vel, ha lehet egyszerűsíteni, akkor csak 17-tel lehet.
4.
A 221 osztható 17-tel, osztópárja a 13, így a számláló 13•17. De a nevező ennél 4•17-tel több, azaz 17•17, így 17-tel egyszerűsíthetünk.

Ez utóbbi módszer természetesen egyszerűbb esetekben is alkalmazható, csak feleslegessé teheti a hagyományos lépésenkénti módszer!


IV. példa: Egyszerűsítsük a következő törtet: A számláló és nevező különbsége 8, ha lehet egyszerűsíteni, akkor csak 8-cal vagy az osztóival lehet. Mivel a számláló és a nevező mindegyike osztható 8-cal, ezért A fentiekben bemutatott módszer persze nemcsak számolási feladatoknál alkalmazható, néha versenyen is találkozhatunk hasonló problémával:

V. példa: Igazoljuk, hogy bármely természetes n szám esetén a alakú törtek már nem egyszerűsíthetők!

Ha lehet egyszerűsíteni, akkor a számláló és a nevező is osztható ugyanazzal a számmal, de ekkor a számláló és nevező többszörösei is és a többszörösök különbsége is oszthatók ezzel a számmal.
Vegyük a számláló ötszörösének és a nevező háromszorosának a különbségét!
Mivel a számláló és nevező többszörösének a különbsége csak 1-gyel osztható, ezért a fentiek alapján az adott alakban felírt törtek már nem egyszerűsíthetők.

Konfár László

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
All you need is code Minden a kódolás tanulásához
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek