Zene és matematika
Tarcsay Tamás
2004/02/24 08:00
3313 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

A matematika és a zene szoros kapcsolatára már az ókorban felfigyeltek. E két "művészeti ág" a történelem során hol egymáskoz közelebb, hol egymástól távolabb helyezkedett el, de a kölcsönhatásuk mindig megfigyelhető volt.

A dúr hangsor aszilofonon

(Zsobrák Róbert cikke)

Érdekes megfigyelésre jutottam zenei hangsorokkal kapcsolatban. Mint ismeretes, a dúr hangsor jellegzetessége a 2 egész, 1 fél; 3 egész, 1 fél szerkezet, azaz:

  • CD hangköz: nagyszekund
  • DE hangköz: nagyszekund
  • EF hangköz: kisszekund
  • FG hangköz: nagyszekund
  • GA hangköz: nagyszekund
  • AH hangköz: nagyszekund
  • Hc hangköz: kisszekund.

Kialakulására állítólag az jellemző, hogy a CDEF (tehát a nagyszekund-nagyszekund-kisszekund szerkezet) hangsor ismétlődik meg egy kvinttel feljebb: GAHC, és ez határozza meg szerkezetét. Matematikai értelemben máris láthatunk egy algebrai struktúrát, amelynek művelete a hangközök összetétele: nagyszekund + nagyszekund + kisszekund + nagyszekund = (tiszta) kvint; és természetesen: nagyszekund + nagyszekund + kisszekund + nagyszekund + nagyszekund + nagyszekund + kisszekund = oktáv. Az eredeti fél oktáv terjedelme, a CF hangköz kvart = nagyszekund + nagyszekund + kisszekund.

Fizikai-akusztikai értelemben a hangközökre a bennük szereplő hangok rezgésszámainak hányadosa jellemző, pl. kvint = 3/2, kvart = 4/3, oktáv = 2/1. Hangközök összetétele esetén ezek az arányszámok összeszorzódnak: kvint + kvart = oktáv; 3/2 * 4/3 = 2/1.

Feltehetjük ugyanazt a kérdést, amely a zenetudósokat évszázadokon át foglalkoztatta: két félhang valóban egy egész hang? Helyesebben két kisszekund összetétele egyenlő a nagyszekunddal? A zongorán alkalmazott egyenlő lebegésű temperálás igennel felelt a kérdésre, csakhogy a zongorán az oktáv az egyetlen tisztán maradó hangköz, még a kvint sem tiszta. Márpedig ez egy hegedűst rettenetesen bosszanthat. (Ugyanis a hegedű húrjai kvintekben vannak hangolva, és az ebből adódó rezonanciák nemcsak hogy hallatszanak, de még látszanak is a húrokon.)

A magam részéről felállítottam egy rendszert, amely (úgy tűnik) ellentmondásmentes, és a feltett kérdésre nem-mel felel.

A rendszer axiómái:

Néhány hangköz

1. Axióma:

A dúr hangsor a fenti értelemben épül fel kis- és nagyszekundokból. Bármely zenei hangról indulhat.

2. Axióma:

A hangközökre a bennük szereplő hangok rezgésszámainak hányadosa jellemző. Hangközök összetétele esetén ezek az arányszámok összeszorzódnak.

Most néhány hangközt visszavezetek a kis- és nagyszekundokra (definíciók).

  • Két nagyszekund = nagyterc.
  • Két nagyszekund és egy kisszekund = (tiszta) kvart. (Megjegyzem, hogy a definiáló alkotóelemek sorrendje lényegtelen a 2. Axióma miatt.)
  • Három nagyszekund és egy kisszekund =(tiszta) kvint.
  • Négy nagyszekund és egy kisszekund = nagyszext.
  • Öt nagyszekund és egy kisszekund = nagyszeptim.
  • Hat nagyszekund és két kisszekund = (tiszta) oktáv.

3. Axióma:

Az oktávra jellemző hányados 2/1.

4. Axióma:

A kvintre jellemző hányados 3/2. (A zongora egyenlő lebegésű temperálású hangolása megsérti ezt az axiómát.)

Válasszuk C rezgésszámát egységnyinek. C = 1. Ekkor a 3. Axióma miatt c = 2. A 4. Axióma miatt G = 3/2. Mivel Fc hangköz is kvint, ezért c/F = 3/2. Azaz 2/F = 3/2, tehát F = 4/3. Most kiszámíthatjuk a nagyszekund nagyságát G/F = (3/2) / (4/3) = 9/8. A nagyszekund értékére kapott eredményből kiszámíthatjuk a még hiányzó rezgésszámokat:

  • C = 1
  • D = 9/8
  • E = (9/8) * (9/8) = 81/64
  • F = 4/3
  • G = 3/2
  • A = (3/2) * (9/8) = 27/16
  • H = (27/16) * (9/8) = 243/128
  • c = 2

A hangközök:

  • nagyszekund 9/8
  • nagyterc 81/64
  • kvart 4/3
  • kvint 3/2
  • nagyszext 27/16
  • nagyszeptim 243/128

A kvint és a kvart egymást oktávra egészíti ki. 3/2 * 4/3 = 2. Ezért az egyik a másikból meghatározható úgy is, mint a reciprok kétszerese. Hasonló viszonyban áll egymással a nagyszekund és a kisszeptim; a nagyterc és a kisszext; a nagyszext és a kisterc; a nagyszeptim és a kisszekund. (Ezek definíciók voltak.) Így:

  • kisszekund 2 * (128/243) = 256/243
  • kisterc 2 * (16/27) = 32/27
  • kisszext 2 * (64/81) = 128/81
  • kisszeptim 2 * (8/9) = 16/9

(Feltűnő egyébként, hogy olyan törtek adják ezeket az értékeket, amelyekben csak 2- és 3-hatványok szerepelnek. A kisszekundot kiszámolhattuk volna másképp is, pl. az F/E aránnyal. A kistercet, a kisszextet, a kisszeptimet definiálhattuk volna így is: kisterc = kisszekund + nagyszekund; kisszext = 2 * kisszekund + 3 * nagyszekund; kisszeptim = 2 * kisszekund + 4 * nagyszekund.)

Két félhang valóban egy egész hang? Helyesebben két kisszekund összetétele egyenlő a nagyszekunddal? Nem, hiszen két kisszekund 256/243 * 256/243 = 65536/59049; a nagyszekund pedig 9/8. Később mutatnám meg egy összehasonlító táblázatban, hogy mekkora ez az eltérés. Hallható.

De gondolkodjunk tovább!

A zenében módosító jeleket használnak - többek között - annak érdekében, hogy más zenei hangról is indíthassák a dúr skálát.

Kereszttel (#) megemelik a hangot, bével (b) leszállítják. Ha két félhang nem egyenlő egy egész hanggal, tehát ha nincs értelme a félhang kifejezésnek, akkor milyen mértékű ez a megemelés vagy leszállítás?

Ha a dúr skálát G hangról indítjuk, az f hang megsérti a dúr skála rendjét, így az 1. Axiómát.

  • GA hangköz: nagyszekund
  • AH hangköz: nagyszekund
  • Hc hangköz: kisszekund
  • cd hangköz: nagyszekund
  • de hangköz: nagyszekund
  • ef hangköz: kisszekund
  • fg hangköz: nagyszekund

Helyette egy olyan hangot kell választani, amely az e hangtól felfelé nagyszekund távolságra van, a g hangtól lefelé kisszekund távolságra. Így definiálom a f# (fisz) hangot. Az, hogy melyik oktávban van a hang, a lényeget (az arányokat) nem érinti.

F# = E * 9/8 = 81/64 * 9/8 = 729/512

És valóban:

G/F# = (3/2) / (729/512) = 256/243

Ezt a zenében úgy mondják, hogy meg kell emelni a hetedik fokot. A
megemelés mértéke:

F#/F = (729/512) / (4/3) = 2187/2048

Ez nem egyenlő a kisszekunddal, és két ilyen mértékű megemelés egymás után sem adja ki pontosan a nagyszekundot.

Hasonlóan kaphatjuk meg a többi megemelt hangot, ha ezt az eljárást sorban folytatjuk, az úgynevezett kvintkör szerint.

A dúr hangsor kezdőhangja - A megemelt hetedik fok

  • G - F#
  • D - C#
  • A - G#
  • E - D#
  • H - A#
  • F# - E#
  • C# - H#
  • G# - F##
    stb.

(Az én rendszeremben a kvintkör nem záródik.)
Ha valakinek kétsége támadna, hogy vajon az összes ilyen megemelés egyenlő mértékű-e, álljon itt egy matematikuabb levezetés:

Adott két zenei hang egymástól kisterc távolságra x és (32/27)x. Közöttük helyezkedik el y zenei hang, amely az alsótól kisszekund, a felsőtől nagyszekund távolságra van. Ilyen zenei hang létezik: y =(256/243)x; hiszen ((32/27)x) / ((256/243)x) = 9/8, azaz nagyszekund.

Létezik egy z zenei hang is a két zenei hang között, amely az alsótól nagyszekund, a felsőtől kisszekund távolságra van: z = (9/8)x; hiszen ((32/27)x) / ((9/8)x) = 256/243, azaz kisszekund. A megemelés mértéke: z/y = (9/8) / (256/243) = 2187/2048. Ha jobban meggondoljuk a két hang létezése a szorzás kommutativitásából következik, távolságuk pedig a nagyszekund és a kisszekund arányszámainak aránya.

Ha a dúr hangsort C helyett F-ről szeretnénk indítani, a negyedik fokot kell leszállítani, így kapjuk a Hb (B) hangot. Ha az eljárást tovább folytatjuk a kvintkörben ellenkező irányban, most a következő hangokhoz juthatunk el:

A dúr hangsor kezdőhangja - A leszállított negyedik fok

  • F - B
  • B - Eb
  • E - Ab
  • A - Db
  • D - Gb
  • G - Cb
  • C - Fb
  • Fb - Bb
  • Bb -Ebb
    stb.

(A kvintkör itt sem záródik.)

Megint arról van szó, hogy két egymástól kistercnyi távolságra levő hang között két zenei hang helyezkedik el, az egyik az alsótól kisszekund, a felsőtől nagyszekund távolságra, a másik az alsótól nagyszekund, a felsőtől kisszekund távolságra. A két hang létezése a szorzás kommutativitásából következik, távolságuk pedig a nagyszekund és a kisszekund arányszámainak aránya. Azaz a leszállítás mértéke ugyanakkora, mint a megemelés mértéke volt.

H/B = 2187/2048

F# nem egyezik meg Gb-szel.

Gyerekkoromban azért kaptam ugyanis 3-ast szolfézsból, mert az az állítás, hogy F# = Gb, amely egy zongorista számára nyilvánvaló, hiszen ugyanazt a billentyűt kell lenyomnia, nekem sehogyan sem fért a fejembe. Hegedűn a F# hangot egészen másképp képeztem, mint a Gb-t. F# = 729/512 Gb= G / 2187/2048 = (3/2) / (2187/2048) = 1024/729

F#/Gb = 531441/524288

Most már ideje fellebbenteni a fátylat

A verseny emblémája

Nem én voltam az első a világtörténelemben, aki minderre rájött. Erre az első példa egy feladat a Matematika Határok Nélkül verseny 2000/2001-es próbafordulóján, mégpedig a 2. feladat.

Nem is olyan könnyű Aurélie pánsípot szeretne készíteni tíz sípból, melyek a dó-ré-mi-fá-szó-lá-ti-dó-ré-mi megszólaltatására alkalmasak. A legmélyebb hang megszólaltatására szolgáló síp 16 cm hosszú. Ha egy tetszőleges hosszúságú sípot megfelezünk, egy oktávval magasabban szóló hangot kapunk (pl. dó-). Ha egy tetszőleges hosszúságú síp 2/3-át vesszük, így egy kvinttel magasabban hangzó síphoz jutunk (pl. dó-szó vagy ré-lá).

Számítsátok ki a 10 síp hosszát, állítsátok nagyság szerinti sorrendbe, és rajzoljátok le eredeti nagyságban Aurélie pánsípját! Az egyes sípok átmérője 1 cm.

Felfedezhetjük axiómáinkat:

Ha egy tetszőleges hosszúságú sípot megfelezünk, egy oktávval magasabban szóló hangot kapunk (pl. dó-). 3. Axióma. Az oktávra jellemző hányados 2/1. Azzal a megjegyzéssel, hogy a fizika szerint a frekvencia és a cső hossza fordítottan arányos.

Ha egy tetszőleges hosszúságú síp 2/3-át vesszük, így egy kvinttel magasabban hangzó síphoz jutunk (pl. dó-szó vagy ré-lá). 4. Axióma. A kvintre jellemző hányados 3/2.

A próbaforduló megoldási vázlatában a következő számítási sorrendet javasolják a feladat kitűzői: dó-szó-ré2-ré-lá-mi2-mi-ti és dó-dó2-fá. Azaz a versenyzők részéről alapvető szolmizációs háttérismeretek voltak szükségesek, valamint hogy tudják vagy rájöjjenek, hogy ilyen oda-vissza irányú oktáv és kvint lépésekkel el lehet jutni a dúr skála minden egyes fokához. Ez benne van a mi rendszerünkben is, és az idézett lépésekkel mi is dolgozhattunk volna a rendszer kiépítésénél. Nem csoda, ha a feladat megoldása megegyezik rendszerünkkel. (Ott csőhosszban; itt frekvenciában.)

Csakhogy ez a rendszer a világtörténelemben Pitagorasz nevéhez fűződik.

Benkő András a Bolyaiak zeneelmélete c. könyvében három hétfokú hangsort
mutat be:


Püthagorasz:

  • 1
  • 9/8
  • 81/64
  • 4/3
  • 3/2
  • 27/16
  • 243/128
  • 2

Mayer:

  • 1
  • 9/8
  • 81/64
  • 4/3
  • 3/2
  • 27/16
  • 15/8
  • 2

Baumgartner/Bolyai Farkas

  • 1
  • 9/8
  • 81/64
  • 4/3
  • 3/2
  • 5/3
  • 15/8
  • 2

Az általam kiszámított F#/Gb hangközt (531441/524288) pitagoraszi kommának hívják.

Meg kell jegyeznem, hogy a négyjegyű függvénytáblázat is közöl egy tizenkét fokú hangsort. Ennek hétfokú része (CDEFGAH) megegyezik Benkő András könyvében szereplő Baumgartner/Bolyai Farkas-féle hangsorral.

A cikk pedagógiai haszna:

  • Számolás törtekkel
  • Szövegértés
  • Több megoldás, ill. alternatív megoldások bemutatása
  • Egy alternatív renszer bemutatása
  • Egy axiómarendszer kidolgozása
  • A matematika alkalmazása a művészetekben
  • Annak megmutatása, hogy a diákokban lezajló felfedező/konstruktív tevékenység is tanulási tevékenység, hiszen ezen az úton én is új ismerethez jutottam, előzetes ismeretközlés nélkül


Függelék

Az egyenlő lebegésű temperált hangsor:

  • c = 261,5
  • d = 296,3
  • e = 332,6
  • f = 352,4
  • g = 395,5
  • a = 440
  • h = 498,3

A pitagoraszi hangsor:

  • c = 260,7
  • d = 293,3
  • e = 330
  • f = 347,7
  • g = 391,1
  • a = 440
  • h = 495

Irodalom

  • BÖHM LÁSZLÓ: Zenei műszótár
  • BENKŐ ANDRÁS: A Bolyaiak zeneelmélete
  • SZABÓ ÁRPÁD: A görög matematika kibontakozása
  • HACK-KUGLERNÉ-BALÁZS-RADNAI-TÓTH: Négyjegyű függvénytáblázatok. Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések
  • HORTOBÁGYI-RAJKOVITS-WAJAND: Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések. Négyjegyű függvénytáblázatok

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE pilot Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek